Respuesta :
Para resolver el problema de cuántos casos diferentes podemos obtener al menos 3 sellos al lanzar 8 monedas, utilizaremos el análisis combinatorio. Primero, definamos las variables:
- Una moneda puede salir cara (C) o sello (S).
- Queremos obtener al menos 3 sellos (S) en 8 lanzamientos.
Para encontrar el número total de casos que cumplen esta condición, calculamos la cantidad de combinaciones posibles para tener exactamente \(k\) sellos, donde \(k\) varía desde 3 hasta 8, y sumamos estos valores.
La fórmula para calcular combinaciones es:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
donde \(n\) es el número total de monedas (en este caso, 8) y \(k\) es el número de sellos que queremos obtener.
### Pasos para calcular la solución:
1. **Calcular las combinaciones para cada \(k\) de 3 a 8**:
- \(\binom{8}{3}\): Combinaciones para obtener exactamente 3 sellos.
- \(\binom{8}{4}\): Combinaciones para obtener exactamente 4 sellos.
- \(\binom{8}{5}\): Combinaciones para obtener exactamente 5 sellos.
- \(\binom{8}{6}\): Combinaciones para obtener exactamente 6 sellos.
- \(\binom{8}{7}\): Combinaciones para obtener exactamente 7 sellos.
- \(\binom{8}{8}\): Combinaciones para obtener exactamente 8 sellos.
2. **Sumar todas las combinaciones obtenidas**.
### Cálculos:
\[
\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
\]
\[
\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70
\]
\[
\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 56
\]
\[
\binom{8}{6} = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 28
\]
\[
\binom{8}{7} = \frac{8!}{7!(8-7)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8
\]
\[
\binom{8}{8} = \frac{8!}{8!(8-8)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1
\]
### Sumar todas las combinaciones:
\[
\binom{8}{3} + \binom{8}{4} + \binom{8}{5} + \binom{8}{6} + \binom{8}{7} + \binom{8}{8} = 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 219
\]
Por lo tanto, el número de casos diferentes en los que podemos obtener al menos 3 sellos al lanzar 8 monedas es **219**.