Respuesta:
Para resolver este problema, vamos a aplicar las ecuaciones del movimiento con aceleración constante para ambos vehículos y luego igualar sus posiciones para encontrar el punto y el tiempo en que se cruzan.
Primero, convertimos todas las unidades a un sistema consistente (metros y segundos).
1. **Datos:**
- Distancia entre A y B: \( D = 20 \text{ km} = 20,000 \text{ m} \)
- Aceleración del coche que sale de A: \( a_A = 0.024 \text{ m/s}^2 \)
- Aceleración del coche que sale de B: \( a_B = 0.014 \text{ m/s}^2 \)
- Velocidad inicial del coche que sale de B: \( v_{0B} = 18 \text{ km/h} = 5 \text{ m/s} \)
2. **Ecuaciones del movimiento:**
Para el coche que sale de A:
\[ x_A(t) = \frac{1}{2} a_A t^2 \]
Para el coche que sale de B:
\[ x_B(t) = D - v_{0B} t - \frac{1}{2} a_B t^2 \]
Donde \( x_A(t) \) es la posición del coche A y \( x_B(t) \) es la posición del coche B.
3. **Igualamos las posiciones para encontrar el tiempo de cruce:**
\[ x_A(t) = x_B(t) \]
Entonces,
\[ \frac{1}{2} a_A t^2 = 20,000 - 5t - \frac{1}{2} a_B t^2 \]
Sustituimos los valores de \( a_A \) y \( a_B \):
\[ \frac{1}{2} (0.024) t^2 = 20,000 - 5t - \frac{1}{2} (0.014) t^2 \]
Simplificamos:
\[ 0.012 t^2 = 20,000 - 5t - 0.007 t^2 \]
Combinamos términos:
\[ 0.019 t^2 + 5t - 20,000 = 0 \]
4. **Resolviendo la ecuación cuadrática:**
La ecuación cuadrática es:
\[ 0.019 t^2 + 5t - 20,000 = 0 \]
Usamos la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 0.019 \), \( b = 5 \), y \( c = -20,000 \).
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(0.019)(-20,000) \]
\[ \Delta = 25 + 1520 = 1545 \]
Entonces, la solución para \( t \) es:
\[ t = \frac{-5 \pm \sqrt{1545}}{2(0.019)} \]
Calculamos:
\[ t = \frac{-5 \pm 39.31}{0.038} \]
\[ t_1 = \frac{34.31}{0.038} \approx 902.89 \text{ s} \]
\[ t_2 = \frac{-44.31}{0.038} \approx -1166.58 \text{ s} \]
Descartamos el valor negativo, así que:
\[ t \approx 902.89 \text{ s} \]
5. **Posición donde se cruzan:**
Ahora, sustituimos \( t \) en la ecuación de cualquiera de los vehículos. Usamos la del coche A:
\[ x_A(902.89) = \frac{1}{2} (0.024) (902.89)^2 \]
\[ x_A \approx \frac{1}{2} (0.024) (815209.48) \]
\[ x_A \approx 9792.25 \text{ m} \]
Así que, se cruzan aproximadamente a 9792.25 m de A.
6. **Velocidad de cada coche en el momento del cruce:**
Para el coche A:
\[ v_A = a_A t \]
\[ v_A = 0.024 \times 902.89 \]
\[ v_A \approx 21.67 \text{ m/s} \]
