Respuesta:
Para minimizar la longitud total de la cerca, debemos optimizar las dimensiones del rectángulo exterior. Denotemos las dimensiones del rectángulo exterior como \(x\) y \(y\). Sabemos que el área del rectángulo exterior es \(xy = 216\).
Dado que queremos dividir el rectángulo en dos partes iguales mediante una cerca paralela a uno de los lados, la cerca paralela debe tener longitud \(y\). Entonces, la longitud total de la cerca es \(2x + 3y\), donde \(2x\) es la cerca en los lados no paralelos y \(y\) es la cerca paralela.
Para minimizar \(2x + 3y\), podemos despejar \(y\) de la ecuación del área \(xy = 216\) y sustituirla en la ecuación de la longitud total de la cerca. Entonces derivamos respecto a \(x\), igualamos a cero para encontrar el mínimo.
\(y = \frac{216}{x}\)
Longitud total de la cerca, \(L = 2x + 3\left(\frac{216}{x}\right)\)
\(L' = 2 - \frac{648}{x^2}\)
Igualamos a cero para encontrar el mínimo:
\(2 - \frac{648}{x^2} = 0\)
\(\frac{648}{x^2} = 2\)
\(x^2 = \frac{648}{2}\)
\(x^2 = 324\)
\(x = \sqrt{324} = 18\)
Sustituimos \(x = 18\) en \(y = \frac{216}{x}\):
\(y = \frac{216}{18} = 12\)
Entonces, las dimensiones del rectángulo exterior que requieren la menor longitud total de la cerca son \(18 \times 12\) metros, y la cantidad total de cerca requerida es \(2(18) + 3(12) = 72\) metros.
