Respuesta :
Respuesta:
**Expresión para la población:**
Resolviendo la ecuación diferencial logística, obtenemos:
```
y = 16 / (1 + Ae^(-kt))
```
donde A y k son constantes que podemos determinar usando las condiciones iniciales:
```
y(0) = 2 (población en 1925)
y(50) = 4 (población en 1975)
```
Sustituyendo estos valores, obtenemos:
```
2 = 16 / (1 + A)
4 = 16 / (1 + Ae^(-50k))
```
Resolviendo para A y k, obtenemos:
```
A = 7
k = ln(2) / 50
```
Por lo tanto, la expresión para la población es:
```
y = 16 / (1 + 7e^(-(ln(2)/50)t))
```
**Población en 2000 y 2010:**
Sustituyendo t = 75 (2000) y t = 85 (2010), obtenemos:
```
y(2000) = 6.3 mil millones
y(2010) = 7.3 mil millones
```
**Aumento de la población entre 1950 y 1970:**
Sustituyendo t = 25 (1950) y t = 50 (1970), obtenemos:
```
y(1950) = 3.1 mil millones
y(1970) = 3.9 mil millones
```
Por lo tanto, el aumento de la población entre 1950 y 1970 fue:
```
3.9 mil millones - 3.1 mil millones = 0.8 mil millones
```
**Año en que alcanzará los 16 mil millones:**
Para encontrar el año en que la población alcanzará los 16 mil millones, resolvemos:
```
16 = 16 / (1 + 7e^(-(ln(2)/50)t))
```
Resolviendo para t, obtenemos:
```
t = 231 años
```
Por lo tanto, la población alcanzará los 16 mil millones aproximadamente en el año **2156**.
Explicación:
**Ecuación diferencial:**
La ecuación diferencial logística es:
```
dy/dt = ky(1-y/M)
```
donde:
* y es la población
* k es la tasa de crecimiento intrínseca
* M es la capacidad de carga
En este caso, la capacidad de carga es de 16 mil millones, por lo que la ecuación se convierte en:
```
dy/dt = ky(1-y/16000000000)
```
**Solución de la ecuación:**
Esta ecuación es separable, por lo que podemos resolverla separando las variables e integrando:
```
dy/(y(1-y/16000000000)) = kdt
```
```
∫(dy/(y(1-y/16000000000))) = ∫kdt
```
```
-ln(1-y/16000000000) = kt + C
```
donde C es una constante de integración.
Resolviendo para y, obtenemos:
```
y = 16000000000 / (1 + Ae^(-kt))
```
**Condiciones iniciales:**
Tenemos dos condiciones iniciales:
* y(0) = 2 mil millones (población en 1925)
* y(50) = 4 mil millones (población en 1975)
Sustituyendo estas condiciones en la ecuación de solución, obtenemos:
```
2000000000 = 16000000000 / (1 + A)
4000000000 = 16000000000 / (1 + Ae^(-50k))
```
Resolviendo para A y k, obtenemos:
```
A = 7
k = ln(2) / 50
```
**Expresión final:**
Sustituyendo A y k en la ecuación de solución, obtenemos la expresión final para la población:
```
y = 16000000000 / (1 + 7e^(-(ln(2)/50)t))
```
Esta expresión se puede utilizar para determinar la población en cualquier año después de 1925.