Respuesta :
Para estudiar la convergencia de la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)(n+3)}\) utilizando el criterio de las series telescópicas, primero descomponemos el término general en fracciones parciales.
La fracción \(\frac{1}{(n+2)(n+3)}\) se puede escribir como:
\[ \frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{A}{n+2} + \frac{B}{n+3} \]
Multiplicamos ambos lados por \((n+2)(n+3)\) para encontrar \(A\) y \(B\):
\[ 1 = A(n+3) + B(n+2) \]
Igualando los coeficientes de \(n\) y los términos constantes, tenemos:
\[ 1 = A(n+3) + B(n+2) \]
\[ 1 = An + 3A + Bn + 2B \]
\[ 1 = (A+B)n + (3A+2B) \]
Para que esto sea cierto para todos los \(n\), los coeficientes deben coincidir. Así, igualamos los coeficientes:
\[ A + B = 0 \]
\[ 3A + 2B = 1 \]
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:
De \(A + B = 0\):
\[ B = -A \]
Sustituyendo en la segunda ecuación:
\[ 3A + 2(-A) = 1 \]
\[ 3A - 2A = 1 \]
\[ A = 1 \]
Entonces:
\[ B = -A = -1 \]
Por lo tanto:
\[ \frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \]
Ahora, escribimos la serie original utilizando esta descomposición:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right) \]
Podemos observar que esta es una serie telescópica, donde muchos términos se cancelan entre sí. Escribimos los primeros términos para ilustrar esto:
\[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots \]
La mayoría de los términos intermedios se cancelan, dejando solo los términos iniciales y los términos finales en la serie:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right) = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots \]
Al cancelarse la mayoría de los términos, la serie resultante es:
\[ \frac{1}{3} - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+3} \]
Dado que \(\frac{1}{n+3} \to 0\) cuando \(n \to \infty\), la suma de la serie es:
\[ \frac{1}{3} \]
Por lo tanto, la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)(n+3)}\) converge, y su suma es \(\frac{1}{3}\).