Respuesta :
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Para resolver la integral ∫√(3r⁴+1)³r³ dr paso a paso utilizando la regla de sustitución, primero identifiquemos la función a integrar y luego apliquemos la sustitución adecuada para simplificar la integral.
Dada la función a integrar √(3r⁴+1)³r³, realizaremos la sustitución v = 3r⁴ + 1. Calcularemos la relación entre v y dv para simplificar la integral.
1. Sustitución:
Sea v = 3r⁴ + 1, entonces dv = 12r³ dr.
Despejando r³ dr en términos de dv, obtenemos: r³ dr = dv / 12.
2. Sustitución en la Integral:
Sustituimos en la integral original:
∫√(3r⁴+1)³r³ dr = ∫v^(3/2) * (1/12) dv.
3. Integración:
Integramos la función resultante:
∫v^(3/2) * (1/12) dv = (1/12) * ∫v^(3/2) dv
= (1/12) * (2/5) * v^(5/2) + C
= (1/30) * v^(5/2) + C.
4. Sustitución Inversa:
Reemplazamos v por 3r⁴ + 1 en la solución:
(1/30) * (3r⁴ + 1)^(5/2) + C
= (1/30) * (3r⁴ + 1)^(5/2) + C.
Por lo tanto, la integral completa de √(3r⁴+1)³r³ dr es (1/30) * (3r⁴ + 1)^(5/2) + C.