Respuesta:
Para encontrar el momento en el que la distancia entre los dos coches es máxima y determinar la velocidad del coche de policía en ese instante, debemos analizar sus movimientos.
1. **Describir el movimiento de cada coche:**
- **Coche de los ladrones (línea azul):**
- Velocidad constante: \( v_L = 20 \, \text{m/s} \)
- Posición en función del tiempo: \( x_L(t) = 20t \)
- **Coche de policía (línea roja):**
- Aceleración constante: \( a_P = 2 \, \text{m/s}^2 \)
- Velocidad en función del tiempo: \( v_P(t) = 2t \)
- Posición en función del tiempo: \( x_P(t) = \frac{1}{2} a_P t^2 = \frac{1}{2} (2) t^2 = t^2 \)
2. **Distancia entre los coches:**
La distancia entre los coches en función del tiempo es:
\[
D(t) = x_L(t) - x_P(t) = 20t - t^2
\]
3. **Encontrar el momento en que la distancia es máxima:**
Para encontrar el momento en que la distancia es máxima, derivamos \( D(t) \) con respecto al tiempo y encontramos el valor de \( t \) que hace que la derivada sea cero:
\[
\frac{dD(t)}{dt} = 20 - 2t
\]
Igualamos a cero:
\[
20 - 2t = 0
\]
\[
2t = 20
\]
\[
t = 10 \, \text{s}
\]
4. **Velocidad del coche de policía en ese momento:**
La velocidad del coche de policía en el instante \( t = 10 \) s es:
\[
v_P(10) = 2t = 2 \times 10 = 20 \, \text{m/s}
\]
La velocidad del coche de policía en el momento en que la distancia entre los coches es máxima es de \( 20 \, \text{m/s} \). Esto ocurre porque en ese instante, el coche de policía ha alcanzado la misma velocidad constante que el coche de los ladrones. Después de este punto, el coche de policía continuará acelerando, lo que disminuirá la distancia entre ellos.
