Respuesta :
La ecuación de la recta L2 -paralela a L1- y que pasa por el punto P(2,-3) está dada por:
Expresada en la Forma Explícita:
[tex]\large\boxed {\bold { y =-\frac{1}{6} x -\frac{8}{3} }}[/tex]
Expresada en la Forma General:
[tex]\large\boxed {\bold { x +6y +16 = 0 }}[/tex]
Debemos primero hallar la pendiente de la recta -a la que llamamos L1- que pasa por los puntos A(4,1) y B(-2,2)
Donde denotamos a la pendiente de la recta L1 que pasa por estos puntos como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:
[tex]\bold { A \ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]
Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta
Lo que resulta en
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
Determinamos la pendiente de la recta L1 que pasa por los puntos A(4,1) y B(-2,2)
[tex]\bold {A \ (4,1) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( -2,2) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]
Hallamos la pendiente de la recta L1
[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { m_{1} = \frac{ 2 - (1) }{-2 - (4) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{2-1 }{-2-4 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ 1 }{-6 } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{6 } }}[/tex]
La pendiente de L1 -que pasa por los puntos dados- es igual a -1/6
Determinamos la pendiente de una recta paralela
Denotaremos a la pendiente de la recta paralela [tex]\bold { m_{2} }[/tex]
Para que las rectas sean paralelas basta con que tengan la misma pendiente
Luego:
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = m_{1} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{6 } }}[/tex]
Concluyendo que cualquier recta paralela a L1 debe tener la misma pendiente, luego la pendiente de cualquier recta paralela a L1 será m = -1/6
Hallamos la recta L2 -paralela a la recta L1- que pasa por el punto o par ordenado P(2,-3)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta paralela solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (2,-3) tomaremos x1 = 2 e y1 = -3
Dado que la recta debe ser paralela a la dada su pendiente m será igual a -1/6 [tex]\bold{m_{2} = -\frac{1}{6} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { -\frac{1}{6} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { P (2,-3) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (-3) = -\frac{1}{6} \cdot (x- (2)) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+3 =-\frac{1}{6} \cdot (x-2) }}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta L2 -paralela a la recta L1 -que pasa por el punto P(2,-3) en la forma pendiente ordenada al origen o pendiente punto de intercepción
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { y+3 =-\frac{1}{6} \cdot (x-2) }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y+3 =-\frac{1}{6} x +\frac{2}{6} }}[/tex]
[tex]\textsf{Simplificando }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+3 =-\frac{1}{6} x +\frac{1}{3} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{1}{6} x +\frac{1}{3} -3 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{1}{6} x +\frac{1}{3} -3 \cdot\frac{3}{3} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{1}{6} x +\frac{1}{3} -\frac{9}{3} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =-\frac{1}{6} x -\frac{8}{3} }}[/tex]
Habiendo hallado la recta L2 -paralela a L1- y que pasa por el punto P(2,-3) en la forma explícita
Reescribimos la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{1}{6} x -\frac{8}{3} }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y +\frac{1}{6} x +\frac{8}{3} =0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{6} x +y +\frac{8}{3} =0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 6
[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{6} x\cdot 6 +y\cdot 6 +\frac{8}{3} \cdot 6 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{\not6} x\cdot \not 6 +y\cdot 6 +\frac{48}{3} = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x +6y +16 = 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general o implícita
Siendo las dos rectas paralelas
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