Respuesta :
La altura h de la antena es de 24 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:
El ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura de la antena, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta el pie de la antena -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el observador avanzó hacia la antena 14 metros hasta otro punto del suelo o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la línea visual hasta la parte superior de la antena vista con un ángulo de elevación de 37°
El ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura de la antena, el lado DC que es la distancia sobre el plano del suelo desde el observador -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta el pie de la antena luego de haber avanzado en línea recta hacia allí 14 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la línea visual hasta la cima de la antena vista con un ángulo de elevación de 53°
Donde se pide calcular:
La altura h de la antena
Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h
Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea del suelo hasta el pie de la antena luego de haber avanzado desde el primer punto de observación 14 metros, alcanzando el segundo punto de ubicación
Y dónde la incógnita "h" será la altura de la antena
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Siendo la altura "h" de la antena el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta la antena son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación
En donde la altura "h" de la antena es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre
Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe el observador en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura de la antena emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita
Hallamos la distancia x
Planteamos un sistema de ecuaciones
[tex]\boxed {\bold {tan (53^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \cdot tan(53^o ) } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {tan (37^o) = \frac{h}{x +14} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 14) \cdot tan (37^o) } }[/tex]
Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x
[tex]\boxed { \bold {x \cdot tan(53^o)= (x + 14) \cdot tan(37^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \cdot tan(53^o) = x \cdot tan(37^o) +14 \cdot tan(37^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \cdot tan(53^o) - x \cdot tan(37^o) =14 \cdot tan(37^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \cdot ( tan(53^o) - \ tan(37^o) )=14\cdot tan(37^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{14 \cdot tan(37^o) }{ tan(53^o) - \ tan(37^o) } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es de }\bold{ \frac{3 }{4} }[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es de }\bold{ \frac{4 }{3} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{14 \cdot \frac{3 }{4} }{ \frac{4}{3} \ - \ \frac{3 }{4} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ \frac{42 }{4} }{ \frac{7}{12} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = 10.5 \cdot \frac{12}{7} \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{126}{7} \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold {x = 18 \ metros }}[/tex]
La distancia x es de 18 metros
Hallamos la altura h de la antena
Hallamos el valor de h, reemplazando el valor hallado de x en cualquiera de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior
Si
[tex]\large\boxed {\bold {h = x \cdot tan(53^o)}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {h =18\ m \cdot \frac{4}{3} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {h = \frac{72}{3} \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {h = 24 \ metros }}[/tex]
La altura h de la antena es de 24 metros
Se adjunta gráfico a escala que representa la situación, donde se comprueba el resultado obtenido
