Respuesta:
Para simplificar la expresión \( M \), primero descomponemos cada término dentro de las raíces cuadradas y luego simplificamos.
Dada la expresión:
\[ M = \sqrt{n^2 + 4n + 4} + \sqrt{n^2 - 10n + 25} \]
1. **Descomposición de los términos dentro de las raíces**:
Observamos que tanto \( n^2 + 4n + 4 \) como \( n^2 - 10n + 25 \) son trinomios cuadráticos que se pueden factorizar como cuadrados perfectos.
- \( n^2 + 4n + 4 \):
\[ n^2 + 4n + 4 = (n + 2)^2 \]
- \( n^2 - 10n + 25 \):
\[ n^2 - 10n + 25 = (n - 5)^2 \]
Por lo tanto, la expresión \( M \) se simplifica a:
\[ M = \sqrt{(n + 2)^2} + \sqrt{(n - 5)^2} \]
2. **Simplificación de las raíces cuadradas**:
La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es el valor absoluto de la base del cuadrado:
\[ \sqrt{(n + 2)^2} = |n + 2| \]
\[ \sqrt{(n - 5)^2} = |n - 5| \]
Entonces, la expresión \( M \) se convierte en:
\[ M = |n + 2| + |n - 5| \]
3. **Evaluación de las condiciones dadas \( -2 < n < 5 \)**:
- Para \( -2 < n < 5 \):
- Si \( -2 < n \leq -2 \), \( n + 2 \) es siempre positivo, por lo tanto \( |n + 2| = n + 2 \).
- Si \( -2 < n < 5 \), \( n - 5 \) es siempre negativo, por lo tanto \( |n - 5| = -(n - 5) = 5 - n \).
Por lo tanto, dentro del intervalo \( -2 < n < 5 \):
\[ |n + 2| = n + 2 \]
\[ |n - 5| = 5 - n \]
4. **Sustitución de las evaluaciones en la expresión**:
\[ M = (n + 2) + (5 - n) \]
5. **Simplificación final**:
\[ M = n + 2 + 5 - n \]
\[ M = 7 \]
Así, la expresión simplificada de \( M \) es
:
\[ \boxed{7} \]
