Respuesta:
Para resolver este problema, utilizaremos el principio de Pascal aplicado a una prensa hidráulica. Este principio establece que la presión aplicada a un fluido confinado se transmite uniformemente en todas las direcciones. En una prensa hidráulica, esto significa que la fuerza aplicada al émbolo pequeño se amplifica en el émbolo grande.
Primero, calculemos la presión ejercida por la fuerza en el émbolo pequeño.
1. **Área del émbolo pequeño:**
El área de un círculo se calcula con la fórmula:
\[
A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2
\]
donde \( d \) es el diámetro del émbolo.
Para el émbolo pequeño con un diámetro de 2 cm:
\[
d_{\text{pequeño}} = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}
\]
\[
A_{\text{pequeño}} = \pi \left(\frac{0.02 \text{ m}}{2}\right)^2 = \pi \left(0.01 \text{ m}\right)^2 = \pi \times 0.0001 \text{ m}^2 = 0.000314 \text{ m}^2
\]
2. **Presión ejercida en el émbolo pequeño:**
La presión \( P \) se define como la fuerza dividida por el área:
\[
P = \frac{F}{A}
\]
Aplicando los valores:
\[
P = \frac{500 \text{ N}}{0.000314 \text{ m}^2} = 1592359.55 \text{ Pa}
\]
3. **Fuerza requerida en el émbolo grande:**
La carga que se desea levantar es de 100 toneladas. Convertimos esta carga a Newtons:
\[
100 \text{ toneladas} = 100 \times 1000 \text{ kg} = 100000 \text{ kg}
\]
\[
F_{\text{grande}} = 100000 \text{ kg} \times 9.81 \text{ m/s}^2 = 981000 \text{ N}
\]
4. **Área del émbolo grande:**
Como la presión es la misma en ambos émbolos:
\[
P = \frac{F_{\text{grande}}}{A_{\text{grande}}}
\]
Despejamos el área del émbolo grande \( A_{\text{grande}} \):
\[
A_{\text{grande}} = \frac{F_{\text{grande}}}{P} = \frac{981000 \text{ N}}{1592359.55 \text{ Pa}} = 0.616 \text{ m}^2
\]
5. **Diámetro del émbolo grande:**
Ahora calculamos el diámetro a partir del área:
\[
A_{\text{grande}} = \pi \left(\frac{d_{\text{grande}}}{2}\right)^2
\]
Despejamos \( d_{\text{grande}} \):
\[
\left(\frac{d_{\text{grande}}}{2}\right)^2 = \frac{A_{\text{grande}}}{\pi}
\]
\[
\frac{d_{\text{grande}}}{2} = \sqrt{\frac{0.616}{\pi}} = \sqrt{0.196} = 0.443 \text{ m}
\]
\[
d_{\text{grande}} = 2 \times 0.443 \text{ m} = 0.886 \text{ m}
\]
Por lo tanto, el diámetro del émbolo grande debe ser aproximadamente de 0.886 metros, o 88.6 cm, para levantar una carga de 100 toneladas.
