Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, primero necesitamos encontrar el valor de x que maximiza la función de ventas. Dado que la función de ventas está dada por () = −^3 + ^2 + + , debemos encontrar el valor de x que maximice esta función.
Para encontrar el gasto en publicidad que maximiza las ventas, podemos utilizar el criterio de la segunda derivada. Primero, encontramos la primera y segunda derivada de la función de ventas:
() = −^3 + ^2 + +
'() = −3^2 + 2^1 + 1
''() = −6^1 + 2
Luego, igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
''() = 0
−6^1 + 2 = 0
−6^1 = -2
^1 = -2/-6
^1 = 1/3
Una vez que tenemos el punto crítico, usamos el criterio de la segunda derivada para determinar si es un máximo o mínimo. Evaluamos la segunda derivada en ^1 = 1/3:
''(1/3) = −6(1/3) + 2
''(1/3) = -2
Como ''(1/3) es negativo, esto indica que tenemos un máximo en ^1 = 1/3.
Por lo tanto, para maximizar las ventas, la compañía debe gastar 1000 * (1/3) = $333.33 en publicidad. Para determinar la máxima venta posible, sustituimos ^1 = 1/3 en la función de ventas:
() = −(1/3)^3 + (1/3)^2 + (1/3)
() ≈ 0.37037
Por lo tanto, la máxima venta que se puede realizar es aproximadamente 0.37037 unidades del producto.
