Respuesta :
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listo ✅️ ✅️ ✅️
Explicación:
Para evaluar la integral definida ∫(20dx)/(8+2x^2) mediante sustitución trigonométrica, podemos utilizar la sustitución x = √2tan(theta).
Primero, calculamos dx en términos de d(theta):
dx = (√2sec^2(theta))d(theta)
Sustituyendo en la integral, tenemos:
∫(20(√2sec^2(theta))) / (8 + 2(√2tan(theta))^2)d(theta)
Simplificamos:
∫(20√2sec^2(theta)) / (8 + 2(2tan^2(theta)))d(theta)
∫(20√2sec^2(theta)) / (8 + 8tan^2(theta))d(theta)
Factorizamos el denominador:
∫(20√2sec^2(theta)) / 8(1 + tan^2(theta))d(theta)
∫(20√2sec^2(theta)) / 8sec^2(theta)d(theta)
Simplificamos y cancelamos:
∫(5/2) d(theta)
Realizamos la integral:
(5/2)θ + C
Ahora, necesitamos encontrar el valor de theta que corresponde a los límites de integración. La sustitución trigonométrica nos da:
x = √2tan(theta)
Sustituyendo los límites de integración, tenemos:
Cuando x = 0:
0 = √2tan(theta)
tan(theta) = 0
theta = 0
Cuando x = 20:
20 = √2tan(theta)
tan(theta) = 20/√2
theta = arctan(20/√2)
Finalmente, evaluar la integral definida:
(5/2)(arctan(20/√2) - 0)
El valor final de la integral definida depende de los límites de integración específicos que se utilicen.