Respuesta :
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A) Posición, velocidad y aceleración después de 4.2 segundos:
Posición (x): Para encontrar la posición de la masa después de 4.2 segundos, primero necesitamos determinar la frecuencia angular ((\omega)) del movimiento. Sabemos que la masa da una oscilación completa en 2 segundos, lo que significa que el período ((T)) es de 2 segundos. La relación entre la frecuencia angular y el período es: [ \omega = \frac{2\pi}{T} ] Calculamos (\omega): [ \omega = \frac{2\pi}{2} = \pi , \text{rad/s} ] Ahora, la posición de la masa en función del tiempo (t) se expresa como: [ x(t) = A \cos(\omega t) ] Donde (A) es la amplitud del movimiento (la distancia inicial de 5 cm). Sustituyendo los valores: [ x(4.2) = 0.05 \cos(\pi \cdot 4.2) ] Calculamos (x(4.2)) para obtener la posición.
Velocidad (v): La velocidad de la masa en función del tiempo se obtiene derivando la posición con respecto al tiempo: [ v(t) = -A\omega \sin(\omega t) ] Sustituyendo los valores: [ v(4.2) = -0.05 \pi \sin(\pi \cdot 4.2) ] Calculamos (v(4.2)) para obtener la velocidad.
Aceleración (a): La aceleración de la masa en función del tiempo se obtiene derivando la velocidad con respecto al tiempo: [ a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t) ] Sustituyendo los valores: [ a(4.2) = -0.05 \pi^2 \cos(\pi \cdot 4.2) ] Calculamos (a(4.2)) para obtener la aceleración.
B) Velocidad y aceleración máxima:
La velocidad máxima ocurre cuando la masa pasa por el punto de equilibrio (donde (x = 0)). En ese momento, la velocidad es máxima y la aceleración es cero. Por lo tanto, la velocidad máxima es:
[ v_{\text{máx}} = A\omega ]
La aceleración máxima ocurre cuando la masa está en las posiciones extremas ((x = \pm A)). En esos puntos, la aceleración es máxima y la velocidad es cero. Por lo tanto, la aceleración máxima es:
[ a_{\text{máx}} = A\omega^2
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