Respuesta:
Para obtener un intervalo de confianza del 99% para el diámetro medio de las piezas producidas por la máquina, se deben seguir estos pasos:
Calcular la media (
ˉ
x
ˉ
) y la desviación estándar (
s) de la muestra.
Determinar el valor crítico t para un intervalo de confianza del 99% con
−
1
n−1 grados de libertad, donde
n es el tamaño de la muestra.
Calcular el margen de error utilizando la fórmula del intervalo de confianza para la media de una distribución normal.
Dado que tenemos una muestra pequeña (
<
30
n<30), usaremos la distribución t de Student.
Paso 1: Calcular la media y la desviación estándar de la muestra
Los diámetros de la muestra son: 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03
Media (
ˉ
x
ˉ
):
ˉ
=
1.01
+
0.97
+
1.03
+
1.04
+
0.99
+
0.98
+
0.99
+
1.01
+
1.03
9
=
9.05
9
=
1.005
cm
x
ˉ
=
9
1.01+0.97+1.03+1.04+0.99+0.98+0.99+1.01+1.03
=
9
9.05
=1.005 cm
Desviación estándar (
s):
Primero, calcular la varianza (
2
s
2
):
2
=
∑
(
−
ˉ
)
2
−
1
s
2
=
n−1
∑(x
i
−
x
ˉ
)
2
Donde
x
i
son los valores individuales y
ˉ
x
ˉ
es la media.
∑
(
−
ˉ
)
2
=
(
1.01
−
1.005
)
2
+
(
0.97
−
1.005
)
2
+
(
1.03
−
1.005
)
2
+
(
1.04
−
1.005
)
2
+
(
0.99
−
1.005
)
2
+
(
0.98
−
1.005
)
2
+
(
0.99
−
1.005
)
2
+
(
1.01
−
1.005
)
2
+
(
1.03
−
1.005
)
2
=
0.000025
+
0.001225
+
0.000625
+
0.001225
+
0.000225
+
0.000625
+
0.000225
+
0.000025
+
0.000625
=
0.004825
∑(x
i
−
x
ˉ
)
2
=(1.01−1.005)
2
+(0.97−1.005)
2
+(1.03−1.005)
2
+(1.04−1.005)
2
+(0.99−1.005)
2
+(0.98−1.005)
2
+(0.99−1.005)
2
+(1.01−1.005)
2
+(1.03−1.005)
2
=0.000025+0.001225+0.000625+0.001225+0.000225+0.000625+0.000225+0.000025+0.000625
=0.004825
2
=
0.004825
8
=
0.000603125
s
2
=
8
0.004825
=0.000603125
=
0.000603125
≈
0.02455
cm
s=
0.000603125
≈0.02455 cm
Paso 2: Determinar el valor crítico t
Para un intervalo de confianza del 99% y
−
1
=
8
n−1=8 grados de libertad, el valor crítico
/
2
t
α/2
se puede obtener de la tabla t de Student.
Para
=
0.01
α=0.01, con
/
2
=
0.005
α/2=0.005 en una cola y 8 grados de libertad, el valor crítico
0.005
,
8
t
0.005,8
es aproximadamente 3.355 (valor obtenido de la tabla t).
Paso 3: Calcular el margen de error
El margen de error (
E) se calcula como:
=
/
2
⋅
E=t
α/2
⋅
n
s
=
3.355
⋅
0.02455
9
=
3.355
⋅
0.02455
3
≈
3.355
⋅
0.008183
≈
0.02747
cm
E=3.355⋅
9
0.02455
=3.355⋅
3
0.02455
≈3.355⋅0.008183≈0.02747 cm
Paso 4: Determinar el intervalo de confianza
El intervalo de confianza para la media es:
ˉ
±
x
ˉ
±E
1.005
±
0.02747
1.005±0.02747
Esto da un intervalo de confianza de:
(
1.005
−
0.02747
,
1.005
+
0.02747
)
(1.005−0.02747,1.005+0.02747)
(
0.97753
,
1.03247
)
(0.97753,1.03247)
Resumen
El intervalo de confianza del 99% para el diámetro medio de las piezas producidas por la máquina es aproximadamente:
(
0.978
cm
,
1.032
cm
)
(0.978 cm,1.032 cm)
