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Para determinar el ángulo entre dos vectores en dos dimensiones, primero necesitamos las componentes de los vectores. En este caso, los vectores están dados por las siguientes expresiones:
1. \( \mathbf{V_1} = 2x + 25 \)
2. \( \mathbf{V_2} = 3x - 5 \)
Para encontrar el ángulo entre estos dos vectores, podemos usar la fórmula del producto escalar (también conocido como producto punto) en dos dimensiones:
\[ \mathbf{V_1} \cdot \mathbf{V_2} = |\mathbf{V_1}| \cdot |\mathbf{V_2}| \cdot \cos(\theta) \]
Donde:
- \( \mathbf{V_1} \cdot \mathbf{V_2} \) es el producto escalar de \( \mathbf{V_1} \) y \( \mathbf{V_2} \).
- \( |\mathbf{V_1}| \) es la magnitud de \( \mathbf{V_1} \).
- \( |\mathbf{V_2}| \) es la magnitud de \( \mathbf{V_2} \).
- \( \theta \) es el ángulo entre \( \mathbf{V_1} \) y \( \mathbf{V_2} \).
Primero, calculamos las magnitudes de los vectores \( \mathbf{V_1} \) y \( \mathbf{V_2} \):
\[ |\mathbf{V_1}| = \sqrt{(2x + 25)^2} = \sqrt{4x^2 + 100x + 625} \]
\[ |\mathbf{V_2}| = \sqrt{(3x - 5)^2} = \sqrt{9x^2 - 30x + 25} \]
Luego, calculamos el producto escalar \( \mathbf{V_1} \cdot \mathbf{V_2} \):
\[ \mathbf{V_1} \cdot \mathbf{V_2} = (2x + 25)(3x - 5) = 6x^2 + 35x - 125 \]
Sustituimos estos valores en la fórmula del producto escalar:
\[ 6x^2 + 35x - 125 = \sqrt{4x^2 + 100x + 625} \cdot \sqrt{9x^2 - 30x + 25} \cdot \cos(\theta) \]
Ahora, despejamos \( \theta \):
\[ \cos(\theta) = \frac{6x^2 + 35x - 125}{\sqrt{4x^2 + 100x + 625} \cdot \sqrt{9x^2 - 30x + 25}} \]
Finalmente, calculamos \( \theta \) usando la función inversa del coseno (arcocoseno):
\[ \theta = \arccos\left( \frac{6x^2 + 35x - 125}{\sqrt{4x^2 + 100x + 625} \cdot \sqrt{9x^2 - 30x + 25}} \right) \]
Esta es la expresión para el ángulo \( \theta \) entre los dos vectores en función de \( x \). Si proporcionas un valor específico de \( x \), podemos calcular el ángulo correspondiente.