Respuesta:
Para que \( s \) y \( p \) sean divisores de \( q \) en la expresión \( q = s \cdot p + r \), \( r \) debe ser 0. Esto se debe a que si \( r \) no es cero, \( q \) no será un múltiplo exacto de \( s \) ni de \( p \).
### Razón:
Si \( r \neq 0 \), entonces \( q = s \cdot p + r \) implica que \( q \) tiene un término adicional \( r \), que no es divisible por \( s \) ni por \( p \), a menos que \( r \) mismo sea múltiplo de ambos, lo cual es una condición más fuerte y generalmente no requerida. Para garantizar que tanto \( s \) como \( p \) sean divisores de \( q \), \( r \) debe ser 0.
### Demostración:
1. **Divisibilidad por \( s \)**:
- Si \( s \) es un divisor de \( q \), entonces \( q \mod s = 0 \).
- En la expresión \( q = s \cdot p + r \), para que \( q \mod s = 0 \):
\[ q \mod s = (s \cdot p + r) \mod s = (s \cdot p) \mod s + r \mod s \]
- Dado que \( (s \cdot p) \mod s = 0 \), esto se reduce a:
\[ 0 + r \mod s = r \mod s = 0 \]
- Entonces, \( r \) debe ser 0 para que \( q \) sea divisible por \( s \).
2. **Divisibilidad por \( p \)**:
- Si \( p \) es un divisor de \( q \), entonces \( q \mod p = 0 \).
- En la expresión \( q = s \cdot p + r \), para que \( q \mod p = 0 \):
\[ q \mod p = (s \cdot p + r) \mod p = (s \cdot p) \mod p + r \mod p \]
- Dado que \( (s \cdot p) \mod p = 0 \), esto se reduce a:
\[ 0 + r \mod p = r \mod p = 0 \]
- Entonces, \( r \) debe ser 0 para que \( q \) sea divisible por \( p \).
### Conclusión:
Para que tanto \( s \) como \( p \) sean divisores de \( q \) en la expresión \( q = s \cdot p + r \), el valor de \( r \) debe ser:
\[ r = 0 \]
Así, la expresión se simplifica a \( q = s \cdot p \), y es claro que tanto \( s \) como \( p \) son divisores de \( q \).
