Respuesta :
La distancia entre los dos edificios R y S es de aproximadamente 293.44 metros
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Se representa la situación en un triángulo PRS: en donde en el vértice P se encuentra el punto en donde las dos caminos rectos se cortan. Donde el lado PR (a) equivale a uno de los caminos y la distancia desde el punto P hasta el punto R donde se halla un edificio y el lado PS (b) conforma el otro camino y la distancia desde el punto P hasta el punto S donde se ubica el otro edificio - donde ambas longitudes forman un ángulo de 42.6° en el punto P -donde los dos caminos se cortan-. Y el lado RS (c) representa la distancia entre los dos edificios -ubicados respectivamente en los puntos R y S -la cual es nuestra incógnita
Donde se pide determinar la distancia entre los dos Edificios R y S
Para determinar dicha longitud vamos a aplicar el teorema del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Por tanto conocemos para este triángulo:
[tex]\large\textsf{Distancia desde P hasta el Edificio R }[/tex]
[tex]\bold{\overline{PR}=a= 368\ m }[/tex]
[tex]\large\textsf{Distancia desde P hasta el Edificio S }[/tex]
[tex]\bold{\overline{PS}=b= 426\ m }[/tex]
[tex]\large\textsf{\'Angulo de Avistamiento desde P a Edificios R y S }[/tex]
[tex]\bold{P =42.6^o}[/tex]
Ver gráfico adjunto
Hallamos la distancia entre los puntos R y S -donde se ubican respectivamente los dos edificios-
La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado RS (c)
Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la longitud entre los puntos R y S
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(P ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = (368 \ m)^{2} + ( 426 \ m)^{2} - 2 \cdot 368 \ m \cdot 426 \ m \cdot cos(42.6^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 135424 \ m^{2} + 181476 \ m^{2} - 313536 \ m^{2} \cdot cos(42.6^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =316900\ m^{2} - 313536\ m^{2} \cdot 0.73609708712 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 316900\ m^{2} -230792.93630725632 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c^{2} =86107.06369274368 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 86107.06369274368 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c = \sqrt{ 86107.06369274368 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c \approx 293.440051 \ metros }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c \approx 293.44 \ metros}}[/tex]
La distancia entre los dos edificios R y S es de aproximadamente 293.44 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
