Respuesta:
Para resolver el problema de la posición y altura de la imagen en un espejo esférico convexo, debemos utilizar las ecuaciones relacionadas con los espejos esféricos.
1. **Ecuación del espejo**:
\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
\]
Donde:
- \( f \) es la distancia focal del espejo.
- \( d_o \) es la distancia del objeto al espejo.
- \( d_i \) es la distancia de la imagen al espejo.
2. **Relación de la distancia focal y el radio de curvatura**:
\[
f = \frac{R}{2}
\]
Para un espejo convexo, la distancia focal \( f \) es negativa, así que:
\[
f = -\frac{60 \, \text{cm}}{2} = -30 \, \text{cm}
\]
3. **Ecuación del aumento**:
\[
m = -\frac{d_i}{d_o} = \frac{h_i}{h_o}
\]
Donde:
- \( m \) es el aumento.
- \( h_i \) es la altura de la imagen.
- \( h_o \) es la altura del objeto.
Dado:
- Radio de curvatura, \( R = 60 \, \text{cm} \)
- Distancia del objeto, \( d_o = 10 \, \text{cm} \)
- Altura del objeto, \( h_o = 4 \, \text{cm} \)
Primero, encontramos la distancia de la imagen usando la ecuación del espejo:
\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
\]
Reemplazando \( f \) y \( d_o \):
\[
\frac{1}{-30} = \frac{1}{10} + \frac{1}{d_i}
\]
Resolviendo para \( \frac{1}{d_i} \):
\[
\frac{1}{d_i} = \frac{1}{-30} - \frac{1}{10}
\]
\[
\frac{1}{d_i} = \frac{-1}{30} - \frac{3}{30}
\]
\[
\frac{1}{d_i} = \frac{-4}{30}
\]
\[
d_i = \frac{30}{-4} = -7.5 \, \text{cm}
\]
La distancia de la imagen \( d_i \) es -7.5 cm, lo que indica que la imagen está formada 7.5 cm detrás del espejo (porque es un espejo convexo).
Ahora, calculamos la altura de la imagen usando el aumento \( m \):
\[
m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{-7.5}{10} = 0.75
\]
\[
h_i = m \cdot h_o = 0.75 \cdot 4 = 3 \, \text{cm}
\]
La altura de la imagen \( h_i \) es 3 cm. La imagen es más pequeña que el objeto, derecha y virtual, debido a la naturaleza del espejo convexo.
Resumiendo:
- La posición de la imagen es \( -7.5 \, \text{cm} \) (7.5 cm detrás del espejo).
- La altura de la imagen es \( 3 \, \text{cm} \).
Por lo tanto, la posición y altura de la imagen son:
\[
\boxed{-7.5 \, \text{cm}, 3 \, \text{cm}}
\]
Explicación:
