Respuesta :
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para encontrar los máximos y mínimos de la función f(x) = x^4 - 2x^2 - 8, primero debemos analizar su comportamiento mediante el estudio de signos de su derivada primera y segunda.
1. Derivada primera:
Calculamos la derivada primera de f(x):
f'(x) = 4x(x^2 - 1)
Análisis de signos:
f'(x) = 0 para x = 0, ±1. Como la función es polinomial, está definida en todo el conjunto real. Por lo tanto, nuestros puntos de análisis son x = 0, x = 1 y x = -1.
Evaluamos f'(x) en cada intervalo entre los puntos de análisis:
Intervalo x f'(x) Conclusión
(-∞, -1) x = -2 f'(-2) = 24 > 0 La función es creciente
(-1, 0) x = -0.5 f'(-0.5) = -2.25 < 0 La función es decreciente
(0, 1) x = 0.5 f'(0.5) = 2.25 > 0 La función es creciente
(1, ∞) x = 2 f'(2) = 24 > 0 La función es creciente
drive_spreadsheet
Exportar a Hojas de cálculo
2. Derivada segunda:
Calculamos la derivada segunda de f(x):
f''(x) = 12x(x - 1)
Análisis de signos:
f''(x) = 0 para x = 0, 1. Como la función es polinomial, está definida en todo el conjunto real. Por lo tanto, nuestros puntos de análisis son x = 0 y x = 1.
Evaluamos f''(x) en cada intervalo entre los puntos de análisis:
Intervalo x f''(x) Conclusión
(-∞, 0) x = -1 f''(-1) = -24 < 0 La función es cóncava hacia abajo
(0, 1) x = 0.5 f''(0.5) = 6 > 0 La función es cóncava hacia arriba
(1, ∞) x = 2 f''(2) = 24 > 0 La función es cóncava hacia arriba
drive_spreadsheet
Exportar a Hojas de cálculo
3. Máximos y mínimos:
Combinando los resultados del análisis de signos de f'(x) y f''(x), podemos determinar los máximos y mínimos de la función:
Punto x f(x) Clasificación
Máximo x = 1 f(1) = -5 Máximo local
Mínimo x = -1 f(-1) = -9 Mínimo local