Explicación paso a paso:
Para encontrar la ecuación de la mediana \(AD\) de un triángulo \(ABC\) con vértices \(A(4,4)\), \(B(6,2)\) y \(C(-2,-4)\), seguimos los siguientes pasos:
1. **Encontrar el punto medio \(D\) de \(BC\)**:
El punto medio \(D\) se calcula usando la fórmula:
\[
D = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
donde \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) son las coordenadas de los puntos \(B\) y \(C\).
Sustituimos las coordenadas de \(B\) y \(C\):
\[
D = \left( \frac{6 + (-2)}{2}, \frac{2 + (-4)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (2, -1)
\]
2. **Encontrar la pendiente de la mediana \(AD\)**:
La pendiente \(m\) de la recta que pasa por los puntos \(A(4,4)\) y \(D(2,-1)\) se calcula con la fórmula:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
donde \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) son las coordenadas de los puntos \(A\) y \(D\).
Sustituimos las coordenadas de \(A\) y \(D\):
\[
m = \frac{-1 - 4}{2 - 4} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}
\]
3. **Encontrar la ecuación de la recta que pasa por \(A\) y \(D\)**:
Usamos la fórmula de la ecuación de una recta en la forma punto-pendiente:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
donde \((x_1, y_1)\) es el punto \(A(4, 4)\) y \(m = \frac{5}{2}\).
Sustituimos:
\[
y - 4 = \frac{5}{2}(x - 4)
\]
Simplificamos para obtener la ecuación en forma general:
\[
y - 4 = \frac{5}{2}x - \frac{5}{2} \cdot 4
\]
\[
y - 4 = \frac{5}{2}x - 10
\]
\[
y = \frac{5}{2}x - 10 + 4
\]
\[
y = \frac{5}{2}x - 6
\]
Por lo tanto, la ecuación de la mediana \(AD\) del triángulo \(ABC\) es:
\[
y = \frac{5}{2}x - 6
\]
