Respuesta :
La ecuación de la recta solicitada está dada por:
Expresada en la Forma Explícita:
[tex]\large\boxed {\bold { y =-\frac{5}{3} x+5 }}[/tex]
Expresada en la Forma General:
[tex]\large\boxed {\bold { 5x +3y -15 = 0 }}[/tex]
Como la abscisa al origen de la recta es 3 y la ordenada al origen es igual a 5
Lo que significa que la recta solicitada interseca al eje X en el punto A (3,0) y al eje Y en el punto B (0,5)
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente
Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:
[tex]\bold { A \ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]
Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta
Lo que resulta en
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3,0) y B (0,5)
[tex]\bold { A\ (3,0) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( 0,5) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]
Hallamos la pendiente
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 5 - (0) }{0 - (3) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{5-0 }{ 0-3 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 5 }{-3 } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m =- \frac{ 5 }{3 } }}[/tex]
La pendiente m es igual a -5/3
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m = -5/3 es la pendiente. Como conocemos el punto A (3,0) tomaremos x1 = 3 e y1 = 0
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=-\frac{5}{3} } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { A \ (3,0 )}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (0) = -\frac{5}{3} \cdot (x- (3)) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+0=-\frac{5}{3} \cdot (x-3) }}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y+0=-\frac{5}{3} \cdot (x-3) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y=-\frac{5}{3}x +\frac{15}{3} }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =-\frac{5}{3} x+5 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita
Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{5}{3} x+5 }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y +\frac{5}{3} x-5= 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{3} x+ y - 5 = 0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 3
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{3} x\cdot 3 +y\cdot 3 - 5 \cdot 3 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{\not3} x\cdot\not 3 +y\cdot 3 - 5\cdot 3 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 5x +3y -15 = 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general o implícita
Se agrega gráfico como archivo adjunto
