Respuesta :
El bote se encuentra a 120 metros de la base del faro
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
La altura del faro junto con el superficie -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del faro -donde se encuentra el observador en lo alto del mismo avistando -a cierta distancia- a un bote en el mar, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del faro hasta el punto donde se encuentra el bote -ubicado en A- y el lado AB (c) que es la línea visual desde los ojos del observador -ubicado en la alto del faro- hasta el punto donde se encuentra el bote en el agua, el cual es visto con un ángulo de depresión de 53°
Donde se pide hallar:
A qué distancia de la base del faro se encuentra el bote
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 53° al punto A para facilitar la situación
Por ello se ha trazado una proyección horizontal
Esto se puede observar en el gráfico adjunto
Conocemos la altura del faro donde se encuentra el observador -en lo alto del mismo- avistando al bote y de un ángulo de depresión de 53°
- Altura del faro donde se encuentra el observador = 160 metros
- Ángulo de depresión = 53°
- Debemos hallar la distancia horizontal desde el bote hasta la base del faro
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del faro- donde se sitúa el observador en lo alto del mismo- y conocemos un ángulo de depresión de 53° y debemos hallar a qué distancia de la base del faro se encuentra el bote en el mar, -la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Razones trigonométricas con ángulos notables
Hallamos la distancia desde la base del faro hasta donde se encuentra el bote
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =53^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ del \ faro }{ distancia \ al \ bote} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ bote= \frac{ altura \ del \ faro }{ tan(53^o) } } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {distancia \ al \ bote = \frac{ 160 \ m }{ tan(53^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ bote= \frac{ 160 \ m }{ \frac{4}{3} } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ bote = 160 \ m \cdot \frac{3}{4} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ bote = \frac{480 }{4} \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { distancia \ al \ bote = 120 \ metros } }[/tex]
Por tanto la distancia desde la base del faro hasta donde se encuentra el bote es de 120 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
