Respuesta :
Explicación:
Primero, vamos a definir las dimensiones de los tres corrales rectangulares adyacentes. Llamemos a la longitud de cada corral "x" y el ancho "y". Sabemos que el área de cada corral es de 900 pies cuadrados, por lo que podemos establecer la ecuación:
\[x \cdot y = 900\]
También, tenemos que considerar las bardas exteriores y las divisiones interiores. Para minimizar el costo, necesitamos encontrar la combinación de x e y que minimiza el costo total. El área total (parte exterior) de las tres divisiones es:
\[3(4x + 6y)\]
El área total (parte interior) de dos divisiones es:
\[2(2x + 3y)\]
Entonces, el costo total \(C\) en función de x e y es:
\[C = 3(4x + 6y) + 2(2x + 3y)\]
\[C = 12x + 18y + 4x + 6y\]
\[C = 16x + 24y\]
Ahora, podemos encontrar las dimensiones de x y y que minimizan el costo total.
Para hacerlo, primero despejamos y de la ecuación \(x \cdot y = 900\) y la sustituimos en la ecuación del costo total C para obtener una función de una sola variable:
\[y = \frac{900}{x}\]
Sustituyendo esto en \(C = 16x + 24y\), obtenemos:
\[C = 16x + 24\left(\frac{900}{x}\right)\]
\[C = 16x + \frac{21600}{x}\]
Ahora, para encontrar el mínimo costo, derivamos C respecto a x, igualamos a 0 y resolvemos la ecuación resultante:
\[C' = 16 - \frac{21600}{x^2}\]
\[0 = 16 - \frac{21600}{x^2}\]
Multiplicando ambos lados por \(x^2\) y resolviendo para x:
\[16x^2 = 21600\]
\[x^2 = 1350\]
\[x = \sqrt{1350}\]
Una vez que tengamos el valor de x, podemos encontrar el valor correspondiente de y mediante \(y = \frac{900}{x}\).
Finalmente, con estos valores de x e y, podemos calcular el costo total mínimo para levantar las bardas.