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Para encontrar cuántos números de tres cifras existen donde el producto de la cifra de las centenas y de las unidades es 10, debemos considerar todas las combinaciones posibles de cifras que multiplicadas den 10 y luego determinar si se pueden formar números de tres cifras con ellas.
Primero, enumeramos las posibles combinaciones de dos dígitos cuyo producto sea 10:
\[
\begin{align*}
1 \times 10 &= 10 & \quad &\text{(no es válido porque 10 no es un dígito)}\\
2 \times 5 &= 10 & \quad &\text{(válido)}\\
5 \times 2 &= 10 & \quad &\text{(válido)}\\
10 \times 1 &= 10 & \quad &\text{(no es válido porque 10 no es un dígito)}
\end{align*}
\]
Así, las combinaciones válidas son (2, 5) y (5, 2).
Para formar un número de tres cifras, necesitamos elegir una cifra para las centenas, una para las decenas y una para las unidades. La cifra de las centenas debe ser distinta de cero, y tenemos los siguientes casos:
1. Cifra de las centenas = 2 y cifra de las unidades = 5:
\[
2 \_ 5
\]
Aquí, el dígito de las decenas puede ser cualquiera de los dígitos del 0 al 9 (inclusive):
\[
205, 215, 225, 235, 245, 255, 265, 275, 285, 295
\]
Esto nos da 10 números.
2. Cifra de las centenas = 5 y cifra de las unidades = 2:
\[
5 \_ 2
\]
De nuevo, el dígito de las decenas puede ser cualquier dígito del 0 al 9:
\[
502, 512, 522, 532, 542, 552, 562, 572, 582, 592
\]
Esto nos da otros 10 números.
Sumando los dos conjuntos de números, obtenemos:
\[
10 + 10 = 20
\]
Por lo tanto, el número total de números de tres cifras en los cuales el producto de las cifras de las centenas y de las unidades es 10 es:
\[
\boxed{20}
\]