Respuesta :
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Para resolver este problema, primero necesitamos encontrar las dimensiones del cono para luego calcular el área lateral.
Dado que el radio de la base del cono es a, la generatriz del cono es 5/3 veces el radio, es decir, (5/3)a.
Además, se nos dice que la suma del radio (a) con la altura (h) es 21. Podemos expresar esto como a + h = 21, y necesitamos despejar h en función de a para poder calcular el área lateral.
Para despejar h, podemos utilizar la relación trigonométrica en el triángulo rectángulo formado por la generatriz, el radio y la altura del cono:
h^2 + a^2 = (5/3a)^2
h^2 + a^2 = 25/9 * a^2
h^2 = 25/9 * a^2 - a^2
h^2 = (25/9 - 1) * a^2
h^2 = (16/9) * a^2
h = sqrt((16/9) * a^2)
h = (4/3) * a
Ahora que tenemos una expresión para h en términos de a, podemos calcular el área lateral del cono. El área lateral se calcula con la fórmula A = π * r * l, donde r es el radio y l es la generatriz.
Como ya sabemos que l = (5/3)a, podemos calcular r usando el teorema de Pitágoras:
r = sqrt(l^2 - h^2)
r = sqrt((5/3a)^2 - (4/3a)^2)
r = sqrt(25/9 * a^2 - 16/9 * a^2)
r = sqrt(9/9 * a^2)
r = sqrt(a^2)
r = a
Ahora que conocemos r y l en función de a, podemos calcular el área lateral:
A = π * a * (5/3)a
A = (5π/3) * a^2
Por lo tanto, el área lateral del cono es (5π/3) * a^2.