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Explicación paso a paso:
Para resolver un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 cm, necesitamos encontrar las longitudes de los catetos. Un triángulo rectángulo tiene tres lados: dos catetos (a y b) y una hipotenusa (c), donde \( c = 20 \) cm. Aplicaremos el teorema de Pitágoras, que establece:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
### Caso 1: Triángulo Rectángulo Isósceles
Si el triángulo es isósceles, entonces los catetos son iguales, es decir, \( a = b \).
1. Usamos el teorema de Pitágoras:
\[ a^2 + a^2 = 20^2 \]
\[ 2a^2 = 400 \]
\[ a^2 = 200 \]
\[ a = \sqrt{200} \]
\[ a = 10\sqrt{2} \]
Entonces, los catetos miden \( 10\sqrt{2} \) cm cada uno.
### Caso 2: Triángulo Rectángulo con Catetos Desiguales
Para un triángulo rectángulo con catetos desiguales, podemos elegir diferentes valores para \( a \) y \( b \) mientras se cumpla el teorema de Pitágoras. Como ejemplo, seleccionemos un valor posible para \( a \) y resolvamos para \( b \):
1. Supongamos \( a = 12 \) cm.
2. Usamos el teorema de Pitágoras para encontrar \( b \):
\[ 12^2 + b^2 = 20^2 \]
\[ 144 + b^2 = 400 \]
\[ b^2 = 256 \]
\[ b = \sqrt{256} \]
\[ b = 16 \]
Entonces, si un cateto mide 12 cm, el otro cateto mide 16 cm.
En resumen, dependiendo de las propiedades del triángulo (isósceles o no), tenemos:
1. Para un triángulo rectángulo isósceles, los catetos miden \( 10\sqrt{2} \) cm.
2. Para un triángulo rectángulo con catetos desiguales, un ejemplo es un cateto de 12 cm y otro de 16 cm.
Estos resultados son ejemplos, y hay infinitas combinaciones posibles de \( a \) y \( b \) siempre que cumplan \( a^2 + b^2 = 20^2 \).