Respuesta:
Para resolver este problema, necesitamos calcular cuántas permutaciones posibles hay para que los diez amigos se sienten de diferentes maneras cada día. Esto se puede determinar mediante el factorial de 10 (denotado como 10!).
El factorial de un número \( n \) (n!) es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta \( n \).
Entonces, \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \).
Calculamos:
\[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3,628,800 \]
Esto significa que hay 3,628,800 formas diferentes de sentar a los diez amigos.
Por lo tanto, el tendero tendrá que pagar la cuenta después de 3,628,800 días, ya que en ese momento se habrán probado todas las permutaciones posibles y se repetirá la posición original.