Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, podemos usar trigonometría para encontrar las longitudes de los lados del rectángulo y luego calcular el perímetro y el área.
Dado que conocemos la diagonal y un ángulo, podemos usar las funciones trigonométricas para encontrar las longitudes de los lados del rectángulo. La relación entre la longitud de la diagonal \( d \), la longitud de los lados \( a \) y \( b \), y el ángulo \( \theta \) entre la diagonal y uno de los lados es:
\[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta) \]
Dado que sabemos que la diagonal es de 38 metros y el ángulo es de 35°, podemos usar esta ecuación para encontrar las longitudes de los lados \( a \) y \( b \).
\[ 38^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(35°) \]
Para encontrar el perímetro, simplemente sumamos las longitudes de los lados y para encontrar el área multiplicamos la longitud de un lado por el otro.
Voy a calcular los valores.
Primero, vamos a encontrar las longitudes de los lados \(a\) y \(b\) del rectángulo usando la ecuación:
\[ 38^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(35°) \]
Despejando \(ab\):
\[ 38^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(35°) \]
\[ 38^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0.819 \]
\[ 38^2 = a^2 + b^2 - 1.638ab \]
Como es un rectángulo, los lados son iguales, entonces \(a = b\). Podemos escribir \(a^2\) en lugar de \(b^2\):
\[ 38^2 = 2a^2 - 1.638a^2 \]
\[ 38^2 = 0.362a^2 \]
\[ a^2 = \frac{38^2}{0.362} \]
\[ a^2 = \frac{1444}{0.362} \]
\[ a^2 = 3989.5 \]
\[ a = \sqrt{3989.5} \]
\[ a ≈ 63.2 \]
Entonces, la longitud de cada lado del rectángulo es aproximadamente 63.2 metros.
Ahora, el perímetro del rectángulo es:
\[ \text{Perímetro} = 2a + 2b \]
\[ \text{Perímetro} = 2(63.2) + 2(63.2) \]
\[ \text{Perímetro} ≈ 2(63.2 + 63.2) \]
\[ \text{Perímetro} ≈ 2(126.4) \]
\[ \text{Perímetro} ≈ 252.8 \]
Por lo tanto, el perímetro del terreno rectangular es aproximadamente 252.8 metros.
Y el área del rectángulo es:
\[ \text{Área} = a \times b \]
\[ \text{Área} = 63.2 \times 63.2 \]
\[ \text{Área} ≈ 63.2^2 \]
\[ \text{Área} ≈ 3989.5 \]
Por lo tanto, el área del terreno rectangular es aproximadamente 3989.5 metros cuadrados.
