Respuesta:
El ángulo formado entre las rectas que pasan por los puntos \(A(-5, 3)\) y \(B(6, 9)\), y \(C(3, -2)\) y \(D(-4, 7)\), respectivamente, es aproximadamente \(80.74^\circ\).
Explicación paso a paso:
Para encontrar el ángulo entre dos rectas, primero necesitamos determinar las pendientes de cada una de las rectas. Luego utilizaremos la fórmula para el ángulo entre dos rectas en función de sus pendientes.
1. **Calcular las pendientes de las rectas:**
La pendiente de una recta que pasa por dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) se calcula con la fórmula:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Para la recta que pasa por \(A(-5, 3)\) y \(B(6, 9)\):
\[ m_1 = \frac{9 - 3}{6 - (-5)} = \frac{6}{11} \]
Para la recta que pasa por \(C(3, -2)\) y \(D(-4, 7)\):
\[ m_2 = \frac{7 - (-2)}{-4 - 3} = \frac{9}{-7} = -\frac{9}{7} \]
2. **Calcular el ángulo entre las dos rectas:**
La fórmula para el ángulo \(\theta\) entre dos rectas con pendientes \(m_1\) y \(m_2\) es:
\[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \]
Sustituyendo \(m_1 = \frac{6}{11}\) y \(m_2 = -\frac{9}{7}\):
\[ \tan(\theta) = \left| \frac{\frac{6}{11} - \left(-\frac{9}{7}\right)}{1 + \frac{6}{11} \left(-\frac{9}{7}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{6}{11} + \frac{9}{7}}{1 - \frac{54}{77}} \right| \]
Simplificamos las fracciones:
\[ \frac{6}{11} + \frac{9}{7} = \frac{6 \cdot 7 + 9 \cdot 11}{11 \cdot 7} = \frac{42 + 99}{77} = \frac{141}{77} \]
\[ 1 - \frac{54}{77} = \frac{77}{77} - \frac{54}{77} = \frac{23}{77} \]
Entonces:
\[ \tan(\theta) = \left| \frac{\frac{141}{77}}{\frac{23}{77}} \right| = \left| \frac{141}{23} \right| = \frac{141}{23} \]
Finalmente, calculamos el ángulo:
\[ \theta = \arctan\left(\frac{141}{23}\right) \]
Voy a proceder a calcular este valor.
