Respuesta:
Para resolver este problema, vamos a definir algunos conjuntos y utilizar la información proporcionada para determinar cuántos alumnos han aprobado matemáticas pero han suspendido física.
Denotemos:
- \( A \): Conjunto de alumnos que han aprobado matemáticas.
- \( B \): Conjunto de alumnos que han aprobado física.
- \( A^c \): Conjunto complementario de \( A \), es decir, alumnos que han suspendido matemáticas.
- \( B^c \): Conjunto complementario de \( B \), es decir, alumnos que han suspendido física.
Dado:
- Total de alumnos \( n = 80 \)
- Alumnos que han aprobado matemáticas \( |A| = 64 \)
- Alumnos que han aprobado física \( |B| = 60 \)
- Alumnos que han aprobado física y han suspendido matemáticas \( |A^c \cap B| = 8 \)
**Paso 1: Encontrar \( |A^c| \)**
\[ |A| = 64 \]
\[ |A^c| = n - |A| = 80 - 64 = 16 \]
**Paso 2: Encontrar \( |B^c| \)**
\[ |B| = 60 \]
\[ |B^c| = n - |B| = 80 - 60 = 20 \]
**Paso 3: Encontrar \( |A^c \cap B^c| \)**
\( |A^c \cap B^c| \) representa el número de alumnos que han suspendido física y matemáticas.
\[ |A^c \cap B^c| = |B^c| - |A^c \cap B| \]
Sustituyendo los valores conocidos:
\[ |A^c \cap B^c| = 20 - 8 = 12 \]
Por lo tanto, **12** alumnos han suspendido física pero han aprobado matemáticas.