Respuesta:
Para que la circunferencia \( C(0', r') \) sea interior a la circunferencia \( C(0, r = 12) \), es necesario que la circunferencia más pequeña esté completamente contenida dentro de la circunferencia más grande. Esto implica dos condiciones:
1. El centro de \( C(0', r') \) debe estar dentro de \( C(0, r = 12) \).
2. El radio de \( C(0', r') \) más la distancia entre los centros debe ser menor que el radio de \( C(0, r = 12) \).
### Desglose de las condiciones:
- Sea \( d \) la distancia entre los centros de las circunferencias.
- La circunferencia \( C(0', r') \) es interior a \( C(0, r) \) si:
\[ d + r' < 12 \]
### Valores posibles para \( r' \):
Para encontrar todos los valores posibles de \( r' \), consideramos los siguientes puntos:
1. \( d \geq 0 \), ya que \( d \) representa una distancia.
2. El radio de \( C(0', r') \) debe ser mayor que cero: \( r' > 0 \).
Además, para la circunferencia interiormente contenida:
\[ r' < 12 - d \]
### Valores posibles para \( r' \):
1. Para el valor más pequeño posible de \( d \) (que es 0 cuando los centros coinciden):
\[ r' < 12 \]
2. Si \( d \) se incrementa, \( r' \) debe decrecer para mantener la circunferencia \( C(0', r') \) interior a \( C(0, r = 12) \). Por ejemplo, si \( d = 1 \):
\[ r' < 12 - 1 = 11 \]
Así, en general, para cualquier \( d \) que cumpla \( 0 \leq d < 12 \):
\[ 0 < r' < 12 - d \]
### Conclusión:
Los valores posibles de \( r' \) dependen de \( d \), la distancia entre los centros. En resumen:
\[ r' \) puede tomar cualquier valor en el intervalo:
\[ 0 < r' < 12 - d \]
donde \( d \) es la distancia entre los centros de las circunferencias y debe cumplir \( 0 \leq d < 12 \).
