Respuesta :
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Para hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \( P_1(-1, 2) \), \( P_2(3, 5) \) y \( P_3(4, -2) \), necesitamos determinar el centro \((h, k)\) y el radio \(r\) de la circunferencia. La ecuación general de una circunferencia es:
Explicación paso a paso:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
Para encontrar \( h \), \( k \) y \( r \), vamos a usar los siguientes pasos:
1. Plantear el sistema de ecuaciones a partir de la ecuación general de la circunferencia usando los tres puntos dados.
2. Resolver el sistema para encontrar \( h \), \( k \) y \( r \).
Dado que los puntos satisfacen la ecuación de la circunferencia, se debe cumplir:
\[
\begin{cases}
(-1 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2 \\
(3 - h)^2 + (5 - k)^2 = r^2 \\
(4 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2
\end{cases}
\]
Vamos a resolver este sistema de ecuaciones.
Primero, expandimos y simplificamos las ecuaciones:
1. \((-1 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2\):
\[ 1 + 2h + h^2 + 4 - 4k + k^2 = r^2 \]
\[ h^2 + k^2 + 2h - 4k + 5 = r^2 \]
2. \((3 - h)^2 + (5 - k)^2 = r^2\):
\[ 9 - 6h + h^2 + 25 - 10k + k^2 = r^2 \]
\[ h^2 + k^2 - 6h - 10k + 34 = r^2 \]
3. \((4 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2\):
\[ 16 - 8h + h^2 + 4 + 4k + k^2 = r^2 \]
\[ h^2 + k^2 - 8h + 4k + 20 = r^2 \]
Ahora, igualamos las ecuaciones para eliminar \( r^2 \):
\[
\begin{cases}
h^2 + k^2 + 2h - 4k + 5 = h^2 + k^2 - 6h - 10k + 34 \\
h^2 + k^2 - 6h - 10k + 34 = h^2 + k^2 - 8h + 4k + 20
\end{cases}
\]
Restamos la primera ecuación de la segunda:
\[
2h - 4k + 5 = -6h - 10k + 34
\]
\[
8h + 6k = 29
\]
\[
4h + 3k = 14.5 \quad \text{(1)}
\]
Restamos la segunda ecuación de la tercera:
\[
-6h - 10k + 34 = -8h + 4k + 20
\]
\[
2h - 14k = 14
\]
\[
h - 7k = 7 \quad \text{(2)}
\]
Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales (1) y (2):
De (2):
\[ h = 7k + 7 \]
Sustituimos en (1):
\[ 4(7k + 7) + 3k = 14.5 \]
\[ 28k + 28 + 3k = 14.5 \]
\[ 31k + 28 = 14.5 \]
\[ 31k = 14.5 - 28 \]
\[ 31k = -13.5 \]
\[ k = \frac{-13.5}{31} \]
\[ k \approx -0.435 \]
Sustituimos \( k \) en \( h = 7k + 7 \):
\[ h = 7(-0.435) + 7 \]
\[ h \approx 4.045 \]
Finalmente, sustituimos \( h \) y \( k \) en cualquiera de las ecuaciones para hallar \( r^2 \):
Usando \( P_1(-1, 2) \):
\[ (-1 - 4.045)^2 + (2 + 0.435)^2 = r^2 \]
\[ (-5.045)^2 + (2.435)^2 = r^2 \]
\[ 25.452 + 5.929 = r^2 \]
\[ r^2 \approx 31.381 \]
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
\[ (x - 4.045)^2 + (y + 0.435)^2 = 31.381 \]