Respuesta:
Para resolver el problema de la fuerza resultante sobre la carga \( q_2 \) en el sistema de cargas, debemos utilizar la Ley de Coulomb, que nos dice que la fuerza eléctrica entre dos cargas \( q_1 \) y \( q_2 \) separadas por una distancia \( r \) está dada por:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
donde \( k_e \) es la constante de Coulomb (\( k_e \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \)).
Primero, calculemos la magnitud de las fuerzas debidas a \( q_1 \) y \( q_3 \) sobre \( q_2 \):
1. **Fuerza de \( q_1 \) sobre \( q_2 \) ( F_{12} )**:
- \( q_1 = 3 \, \mu \text{C} \)
- \( q_2 = 3 \, \mu \text{C} \)
- \( r_{12} = 30 \, \text{cm} = 0.3 \, \text{m} \)
\[
F_{12} = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r_{12}^2} = \left( 8.99 \times 10^9 \, \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \right) \frac{|3 \times 10^{-6} \text{C} \cdot 3 \times 10^{-6} \text{C}|}{(0.3 \, \text{m})^2}
\]
\[
F_{12} = \left( 8.99 \times 10^9 \right) \frac{9 \times 10^{-12}}{0.09}
\]
\[
F_{12} = \left( 8.99 \times 10^9 \right) \left( 10^{-10} \right)
\]
\[
F_{12} = 0.899 \, \text{N}
\]
2. **Fuerza de \( q_3 \) sobre \( q_2 \) ( F_{32} )**:
- \( q_2 = 3 \, \mu \text{C} \)
- \( q_3 = -3 \, \mu \text{C} \)
- \( r_{32} = 30 \, \text{cm} = 0.3 \, \text{m} \)
\[
F_{32} = k_e \frac{|q_2 q_3|}{r_{32}^2} = \left( 8.99 \times 10^9 \, \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2} \right) \frac{|3 \times 10^{-6} \text{C} \cdot (-3) \times 10^{-6} \text{C}|}{(0.3 \, \text{m})^2}
\]
\[
F_{32} = \left( 8.99 \times 10^9 \right) \frac{9 \times 10^{-12}}{0.09}
\]
\[
F_{32} = \left( 8.99 \times 10^9 \right) \left( 10^{-10} \right)
\]
\[
F_{32} = 0.899 \, \text{N}
\]
Ahora, determinemos la dirección de estas fuerzas sobre \( q_2 \):
- \( F_{12} \) actúa repeliendo \( q_2 \) hacia la derecha.
- \( F_{32} \) actúa atrayendo \( q_2 \) hacia la izquierda y hacia abajo a \( 60^\circ \) respecto al eje horizontal.
Descomponemos \( F_{32} \) en componentes \( x \) y \( y \):
- Componente \( x \):
\[
F_{32x} = 0.899 \, \text{N} \cdot \cos 60^\circ = 0.899 \, \text{N} \cdot 0.5 = 0.4495 \, \text{N}
\]
- Componente \( y \):
\[
