Respuesta:
Para determinar el momento de inercia de la figura dada respecto al eje centroidal \(X\), seguiremos estos pasos:
1. **Dividir la figura en formas básicas**: La figura dada es una flecha que puede dividirse en un rectángulo y un triángulo.
2. **Calcular el área y el centroide de cada forma**:
- **Rectángulo**:
- Ancho \(b = 12 \, \text{mm}\)
- Altura \(h = 22 \, \text{mm}\)
- Área \(A_1 = b \times h = 12 \times 22 = 264 \, \text{mm}^2\)
- Centroide \(y_1 = \frac{h}{2} = \frac{22}{2} = 11 \, \text{mm}\) desde la base
- **Triángulo**:
- Base \(b = 24 \, \text{mm}\)
- Altura \(h = 18 \, \text{mm}\)
- Área \(A_2 = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times 24 \times 18 = 216 \, \text{mm}^2\)
- Centroide \(y_2 = \frac{h}{3} = \frac{18}{3} = 6 \, \text{mm}\) desde la base (considerando el vértice inferior como referencia)
3. **Calcular el centroide de la figura compuesta**:
- Posición del centroide global \(\overline{y}\):
\[
\overline{y} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2'}{A_1 + A_2}
\]
donde \(y_2'\) es la distancia del centroide del triángulo desde la base del rectángulo (22 mm + 6 mm).
4. **Calcular el momento de inercia de cada forma respecto a su propio centroide**:
- **Rectángulo**:
\[
I_{x1} = \frac{b h^3}{12}
\]
- **Triángulo**:
\[
I_{x2} = \frac{b h^3}{36}
\]
5. **Usar el teorema de ejes paralelos para trasladar los momentos de inercia al eje centroidal**:
\[
I_{x1}' = I_{x1} + A_1 (d_1)^2
\]
\[
I_{x2}' = I_{x2} + A_2 (d_2)^2
\]
donde \(d_1\) y \(d_2\) son las distancias desde los centroides de cada forma hasta el centroide global \(\overline{y}\).
6. **Sumar los momentos de inercia trasladados para obtener el momento de inercia total respecto al eje centroidal**:
\[
I_x = I_{x1}' + I_{x2}'
\]
Vamos a realizar los cálculos:
1. Áreas y centroides:
- Rectángulo: \(A_1 = 264 \, \text{mm}^2\), \(y_1 = 11 \, \text{mm}\)
- Triángulo: \(A_2 = 216 \, \text{mm}^2\), \(y_2' = 22 \, \text{mm} + 6 \, \text{mm} = 28 \, \text{mm}\)
2. Centroide global:
\[
\overline{y} = \frac{264 \times 11 + 216 \times 28}{264 + 216} = \frac{2904 + 6048}{480} = \frac{8952}{480} = 18.65 \, \text{mm}
\]
3. Momentos de inercia respecto a sus centroides:
- Rectángulo:
\[
I_{x1} = \frac{12 \times 22^3}{12} = \frac{12 \times 10648}{12} = 10648 \, \text{mm}^4
\]
- Triángulo:
\[
I_{x2} = \frac{24 \times 18^3}{36} = \frac{24 \times 5832}{36} = 3888 \, \text{mm}^4
\]
4. Momentos de inercia trasladados:
- Rectángulo:
\[
d_1 = 18.65 \, \text{mm} - 11 \, \text{mm} = 7.65 \, \text{mm}
\]
\[
I_{x1}' = 10648 + 264 \times 7.65^2 = 10648 + 1543.5 = 12191.5 \, \text{mm}^4
\]
- Triángulo:
\[
d_2 = 28 \, \text{mm} - 18.65 \, \text{mm} = 9.35 \, \text{mm}
\]
\[
I_{x2}' = 3888 + 216 \times 9.35^2 = 3888 + 1890.8 = 5778.8 \, \text{mm}^4
\]
5. Momento de inercia total:
\[
I_x = 12191.5 + 5778.8 = 17970.3 \, \text{mm}^4
\]
Por lo tanto, el momento de inercia de la figura respecto al eje centroidal \(X\) es aproximadamente \(17970.3 \, \text{mm}^4\).
