Respuesta:
Para resolver el problema, primero usaremos las relaciones trigonométricas para simplificar las expresiones dadas.
1) Para el ángulo \(a\):
\[ \sin(a + 20^\circ) = \sqrt{\sin(30^\circ)} \]
Usando la identidad trigonométrica \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), tenemos:
\[ \sin(a + 20^\circ) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
2) Para el ángulo \(ß\):
\[ \tan(ß + 5^\circ) = \sqrt{\tan(45^\circ)} + \sec^2(45^\circ) \]
Usando las identidades trigonométricas \(\tan(45^\circ) = 1\) y \(\sec^2(45^\circ) = 2\), tenemos:
\[ \tan(ß + 5^\circ) = \sqrt{1} + 2 = 1 + 2 = 3 \]
Ahora, queremos encontrar el valor de \(sec(ß - a)\). Utilizaremos las identidades trigonométricas para relacionar las funciones trigonométricas.
La relación entre las funciones secante y coseno es:
\[ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \]
Entonces, necesitamos encontrar el valor de \(cos(ß - a)\). Usaremos la identidad trigonométrica para la diferencia de ángulos:
\[ cos(α - β) = cos α cos β + sen α sen β\]
Aplicando esta fórmula a nuestra situación:
\[ cos(ß - a) = cos ß cos a + sen ß sen a\]
Finalmente, calculamos \(sec(ß - a)\):
\[ sec(ß - a) = \frac{1}{cos(ß - a)} = \frac{1}{cos ß cos a + sen ß sen a}\]
Esta es la expresión simplificada para el valor de \(sec(ß - a)\).
