Respuesta :
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Para resolver la inecuación \(|x-2| 3\) y trazar la recta de la solución en una recta numérica, sigamos los siguientes pasos:
### Paso 1: Resolver la inecuación
La inecuación \(|x-2| \ 3\) se puede resolver separándola en dos casos debido a la definición del valor absoluto:
\[
|x-2| \ 3 \(x-2) \ 3 \quad \text{o} \quad (x-2) -3
\]
#### Caso 1: \(x-2 \3\)
\[
x - 2 \3
\]
\[
x \ 3 + 2
\]
\[
x \ 5
\]
#### Caso 2: \(x-2 \-3\)
\[
x - 2 \ -3
\]
\[
x -3 + 2
\]
\[
x -1
\]
### Paso 2: Unión de las soluciones
Las soluciones de la inecuación son las uniones de los dos casos:
\[
x -1 \quad \text{o} \quad x5
\]
### Paso 3: Trazar la recta de la solución
En una recta numérica, esto se representa como dos intervalos:
- Para \(x -1\), marcamos una línea hacia la izquierda desde \(-1\), incluyendo \(-1\).
- Para \(x 5\), marcamos una línea hacia la derecha desde \(5\), incluyendo \(5\).
Para dibujar esto en una recta numérica:
1. Marcamos un punto sólido en \(-1\) y dibujamos una línea hacia la izquierda (indicando que \(x -1\)).
2. Marcamos un punto sólido en \(5\) y dibujamos una línea hacia la derecha (indicando que \(x \5\)).
Visualmente, en la recta numérica:
```
<---●------|---------|---------|---------●--->
-1 0 1 2 5
```
Donde:
-representa los valores de \(x \ -1\).
-representa los valores de \(x 5\).
La solución de la inecuación \(|x-2| 3\) son los intervalos \(x \ -1\) y \(x \ 5\).