Respuesta :
Para analizar la ecuación cuadrática \( y = -2x^2 + 12x - 10 \), podemos explorar sus características fundamentales: la forma de la parábola, su vértice, los interceptos con los ejes y su factorización, si es posible.
### 1. Forma de la Parábola
Dado que el coeficiente del término \(x^2\) es negativo (\(-2\)), la parábola abre hacia abajo.
### 2. Vértice de la Parábola
El vértice de una parábola \( y = ax^2 + bx + c \) se encuentra en \( x = -\frac{b}{2a} \).
Para nuestra ecuación:
\[ a = -2, \quad b = 12 \]
El \( x \)-valor del vértice es:
\[ x = -\frac{12}{2(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3 \]
Para encontrar el \( y \)-valor del vértice, sustituimos \( x = 3 \) en la ecuación original:
\[ y = -2(3)^2 + 12(3) - 10 \]
\[ y = -2(9) + 36 - 10 \]
\[ y = -18 + 36 - 10 \]
\[ y = 8 \]
Así, el vértice es \((3, 8)\).
### 3. Interceptos
**Intercepto con el eje \( y \)**:
Esto ocurre cuando \( x = 0 \):
\[ y = -2(0)^2 + 12(0) - 10 = -10 \]
El intercepto con el eje \( y \) es \((0, -10)\).
**Interceptos con el eje \( x \)**:
Esto ocurre cuando \( y = 0 \):
\[ 0 = -2x^2 + 12x - 10 \]
Para resolver la ecuación cuadrática, podemos usar la fórmula cuadrática:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Aquí, \( a = -2 \), \( b = 12 \), y \( c = -10 \):
\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(-2)(-10)}}{2(-2)} \]
\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 80}}{-4} \]
\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{-4} \]
\[ x = \frac{-12 \pm 8}{-4} \]
Esto nos da dos soluciones:
\[ x = \frac{-12 + 8}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \]
\[ x = \frac{-12 - 8}{-4} = \frac{-20}{-4} = 5 \]
Los interceptos con el eje \( x \) son \((1, 0)\) y \((5, 0)\).
### 4. Factorización
Podemos escribir la ecuación en forma factorizada utilizando los interceptos \( x = 1 \) y \( x = 5 \):
\[ y = -2(x - 1)(x - 5) \]
### Resumen
- **Forma**: Parábola que abre hacia abajo.
- **Vértice**: \((3, 8)\).
- **Intercepto con el eje \( y \)**: \((0, -10)\).
- **Interceptos con el eje \( x \)**: \((1, 0)\) y \((5, 0)\).
- **Ecuación Factorizada**: \( y = -2(x - 1)(x - 5) \).
Estos son los elementos clave de la ecuación cuadrática \( y = -2x^2 + 12x - 10 \).
### 1. Forma de la Parábola
Dado que el coeficiente del término \(x^2\) es negativo (\(-2\)), la parábola abre hacia abajo.
### 2. Vértice de la Parábola
El vértice de una parábola \( y = ax^2 + bx + c \) se encuentra en \( x = -\frac{b}{2a} \).
Para nuestra ecuación:
\[ a = -2, \quad b = 12 \]
El \( x \)-valor del vértice es:
\[ x = -\frac{12}{2(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3 \]
Para encontrar el \( y \)-valor del vértice, sustituimos \( x = 3 \) en la ecuación original:
\[ y = -2(3)^2 + 12(3) - 10 \]
\[ y = -2(9) + 36 - 10 \]
\[ y = -18 + 36 - 10 \]
\[ y = 8 \]
Así, el vértice es \((3, 8)\).
### 3. Interceptos
**Intercepto con el eje \( y \)**:
Esto ocurre cuando \( x = 0 \):
\[ y = -2(0)^2 + 12(0) - 10 = -10 \]
El intercepto con el eje \( y \) es \((0, -10)\).
**Interceptos con el eje \( x \)**:
Esto ocurre cuando \( y = 0 \):
\[ 0 = -2x^2 + 12x - 10 \]
Para resolver la ecuación cuadrática, podemos usar la fórmula cuadrática:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Aquí, \( a = -2 \), \( b = 12 \), y \( c = -10 \):
\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(-2)(-10)}}{2(-2)} \]
\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 80}}{-4} \]
\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{-4} \]
\[ x = \frac{-12 \pm 8}{-4} \]
Esto nos da dos soluciones:
\[ x = \frac{-12 + 8}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \]
\[ x = \frac{-12 - 8}{-4} = \frac{-20}{-4} = 5 \]
Los interceptos con el eje \( x \) son \((1, 0)\) y \((5, 0)\).
### 4. Factorización
Podemos escribir la ecuación en forma factorizada utilizando los interceptos \( x = 1 \) y \( x = 5 \):
\[ y = -2(x - 1)(x - 5) \]
### Resumen
- **Forma**: Parábola que abre hacia abajo.
- **Vértice**: \((3, 8)\).
- **Intercepto con el eje \( y \)**: \((0, -10)\).
- **Interceptos con el eje \( x \)**: \((1, 0)\) y \((5, 0)\).
- **Ecuación Factorizada**: \( y = -2(x - 1)(x - 5) \).
Estos son los elementos clave de la ecuación cuadrática \( y = -2x^2 + 12x - 10 \).