Respuesta:
Claro, vamos a resolver una de las preguntas. Empecemos con la primera:
### Pregunta 1: Coincidencia de viajeros en Bogotá
Un viajero va a Bogotá cada 18 días, otro cada 15 días y un tercero cada 8 días. Hoy, 10 de enero, han coincidido los tres en Bogotá. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Bogotá?
Para determinar dentro de cuántos días volverán a coincidir, necesitamos encontrar el **mínimo común múltiplo (MCM)** de los períodos de viaje de los tres viajeros: 18, 15 y 8 días.
Primero, descomponemos los números en factores primos:
- 18 = 2 × 3²
- 15 = 3 × 5
- 8 = 2³
El MCM se obtiene tomando el mayor exponente de cada factor primo presente:
- Máximo exponente de 2: 2³
- Máximo exponente de 3: 3²
- Máximo exponente de 5: 5
Entonces, el MCM de 18, 15 y 8 es:
\[
MCM = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360
\]
Por lo tanto, los tres viajeros volverán a coincidir en Bogotá dentro de 360 días.
### Resolución paso a paso de otra pregunta:
### Pregunta 2: Botones en bolsas
Andrés tiene en su tienda botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones en la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja?
Para resolver esto, buscamos el **mínimo común múltiplo (MCM)** de 24 y 20.
Primero, descomponemos los números en factores primos:
- 24 = 2³ × 3
- 20 = 2² × 5
El MCM se obtiene tomando el mayor exponente de cada factor primo presente:
- Máximo exponente de 2: 2³
- Máximo exponente de 3: 3
- Máximo exponente de 5: 5
Entonces, el MCM de 24 y 20 es:
\[
MCM = 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120
\]
Por lo tanto, el número mínimo de botones en cada caja es 120.
Espero que esto te haya sido de ayuda. ¡Buena suerte con tu tarea!