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Para resolver este problema, podemos usar la ley de los cosenos, que es adecuada para encontrar la distancia entre dos puntos cuando se conoce el ángulo entre ellos y las longitudes de los lados que forman el triángulo.
1. Primero, calculamos la distancia recorrida por cada automóvil en 3 horas:
- Automóvil A:
\[ \text{Distancia A} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 80 \, \text{km/h} \times 3 \, \text{h} = 240 \, \text{km} \]
- Automóvil B:
\[ \text{Distancia B} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 100 \, \text{km/h} \times 3 \, \text{h} = 300 \, \text{km} \]
2. Usamos la ley de los cosenos para encontrar la distancia \(c\) entre los dos automóviles al cabo de 3 horas. La ley de los cosenos es:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]
Donde:
- \(a\) es la distancia recorrida por el automóvil A (240 km).
- \(b\) es la distancia recorrida por el automóvil B (300 km).
- \(C\) es el ángulo entre sus trayectorias (50°).
3. Sustituyendo los valores:
\[ c^2 = 240^2 + 300^2 - 2 \times 240 \times 300 \times \cos(50^\circ) \]
4. Calculamos los valores:
\[ 240^2 = 57600 \]
\[ 300^2 = 90000 \]
\[ \cos(50^\circ) \approx 0.6428 \]
\[ c^2 = 57600 + 90000 - 2 \times 240 \times 300 \times 0.6428 \]
\[ c^2 = 147600 - 2 \times 240 \times 300 \times 0.6428 \]
\[ c^2 = 147600 - 92448 \]
\[ c^2 = 55152 \]
5. Finalmente, tomamos la raíz cuadrada de \(c^2\) para encontrar \(c\):
\[ c = \sqrt{55152} \approx 234.84 \, \text{km} \]
Por lo tanto, la distancia que separa a los dos automóviles al cabo de 3 horas es aproximadamente 234.84 km.