Respuesta:
Para hallar el término independiente del polinomio \( P(x-1) = (2x-3)^{2n} + 2x^3 \), primero necesitamos identificar el término independiente de la expresión principal, \((2x-3)^{2n}\), ya que el término \(2x^3\) no tiene un término independiente, pues involucra \(x\) en todos sus términos.
Para encontrar el término independiente en \((2x-3)^{2n}\), consideramos la expansión binomial de \((2x-3)^{2n}\):
\[
(2x - 3)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} (2x)^k (-3)^{2n-k}
\]
Estamos buscando el término en el que \(x\) se cancela, es decir, el término donde el exponente de \(x\) es cero. El término general de la expansión es:
\[
\binom{2n}{k} (2x)^k (-3)^{2n-k} = \binom{2n}{k} 2^k x^k (-3)^{2n-k}
\]
Para que \(x\) se cancele, necesitamos \(k = 0\). Sin embargo, al observarlo de nuevo, para el término independiente (sin \(x\)), \(x^k\) debería ser \(x^0\), es decir, \(k = 0\).
Revisamos nuevamente y vemos que necesitamos que los exponentes de \(x\) se cancelen; es decir, buscamos \(x^k\) donde \(k = 0\):
El término que estamos buscando es cuando:
\[
k = 0
\]
Entonces, el término es:
\[
\binom{2n}{n} 2^n (-3)^n
\]
El término independiente es:
\[
\binom{2n}{n} 2^n (-3)^n
\]
\[
\binom{2n}{n} 2^n (-3)^n
\]
Finalmente:
\[
\binom{2n}{n} (2(-3))^n = \binom{2n}{n} (2 \cdot -3)^n = \binom{2n}{n} (-6)^n
\]
Así, el término independiente de \( P(x-1) = (2x-3)^{2n} + 2x^3 \) es:
\[
\boxed{\binom{2n}{n} (-6)^n}
\]
