Respuesta :
Para resolver este problema, podemos usar las definiciones de razón geométrica y razón aritmética.
La razón geométrica de dos números \(a\) y \(b\) es el cociente de \(b\) entre \(a\), es decir:
\[ \text{Razón geométrica} = \frac{b}{a} \]
La razón aritmética de dos números \(a\) y \(b\) es su diferencia, es decir:
\[ \text{Razón aritmética} = b - a \]
Según el problema, la razón geométrica de dos números es \( \frac{2}{3} \) y la razón aritmética es \(30\).
Entonces, podemos escribir:
\[ \frac{b}{a} = \frac{2}{3} \]
\[ b = \frac{2}{3}a \]
y
\[ b - a = 30 \]
Ahora, sustituimos \(b = \frac{2}{3}a\) en la segunda ecuación:
\[ \frac{2}{3}a - a = 30 \]
\[ \frac{2a}{3} - \frac{3a}{3} = 30 \]
\[ \frac{2a - 3a}{3} = 30 \]
\[ -\frac{a}{3} = 30 \]
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \( -3 \) para despejar \( a \):
\[ a = -3 \times 30 \]
\[ a = -90 \]
Ahora, podemos encontrar \( b \) usando \( b = \frac{2}{3}a \):
\[ b = \frac{2}{3} \times (-90) \]
\[ b = -60 \]
Por lo tanto, el menor de los números es \( -90 \).