Para resolver este problema, primero identificamos las dimensiones y las relaciones entre las longitudes dadas.
1. **Identificación de variables:**
- \( AB = 2BC \)
- \( ED = 2FE \)
- \( BD = BE \)
- \( 3AF = 4BC \)
Suponemos que las longitudes de \( BC \) y \( FE \) son \( x \).
2. **Perímetros:**
- Perímetro de \( BCD = 36 \) cm:
\[
BC + CD + DB = 36 \quad \text{(considerando que \( BD \) es diagonal, debemos confirmar si la condición \( BD = BE \) se cumple)}
\]
- Perímetro de \( ABEF = 54 \) cm:
\[
AB + BE + EF + FA = 54
\]
3. **Relaciones y cálculos:**
\[
AB = 2BC = 2x
\]
\[
ED = 2FE = 2x
\]
Con la condición \( 3AF = 4BC \):
\[
3AF = 4x \implies AF = \frac{4x}{3}
\]
La longitud total del perímetro de \( ABEF \):
\[
AB + BE + EF + FA = 2x + BE + x + \frac{4x}{3} = 54
\]
Considerando \( BE = BD \) y la diagonal de un rectángulo:
\[
BE = BD = \sqrt{(BC)^2 + (CD)^2}
\]
Sabemos \( BE = BD \), entonces para el perímetro de \( BCD \):
\[
2BC + CD = 36 \implies 2x + x + BD = 36 \quad (\text{debemos confirmar si } BD \text{ está bien calculada})
\]
Combinando:
\[
2x + x + BD = 36 \implies 3x + BD = 36
\]
Por simplificar y confirmar:
Considerando que \( BE = BD \):
\[
BE + AB + EF + FA = 2x + \sqrt{x^2 + (2x)^2} + x + \frac{4x}{3} = 54
\]
Consideremos que el perímetro de \( ABEF \):
\[
2x + \sqrt{5x^2} + x + \frac{4x}{3} = 54
\]
4. **Perímetro del rectángulo \( ACDF \):**
Sabemos que \( AC = AB + BC + CD + DE \):
\[
AC = 2x + 3x + 2x = 7x
\]
Si \( BCD = 36 \) cm, y considerando que todos lados están alineados:
Perímetro \( P_{ACDF} \):
\[
P_{ACDF} = 2(7x) + 2x = 2(9x)
\]
Resolviendo:
\[
2x + 2(9x) = 54 = 18x
\]
El área del rectángulo:
\[
A_{ACDF} = x^2 = (7x)(2x) = 14x^2
\]
Calculamos considerando datos:
Longitud \( x = 6cm\), resultando perimetro, área etc.
**Respuesta Final:
Perímetro = 108 cm y Area = 24 cm cuadrado.**
