Respuesta:
Para resolver la división de \( \frac{x^2 + x - 12}{x + 4} \), podemos usar la división larga o la regla de Ruffini. Usando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Escribimos el divisor \( x + 4 \) en la parte superior y colocamos los coeficientes del dividendo \( x^2 + x - 12 \) en la parte izquierda, omitiendo \( x \) si algún término no está presente:
\[
\begin{array}{r|rrr}
-4 & 1 & 1 & -12 \\
\hline
& & -4 & 15 \\
\end{array}
\]
2. Bajamos el primer coeficiente, que es 1, y lo colocamos debajo de la línea.
\[
\begin{array}{r|rrr}
-4 & 1 & 1 & -12 \\
\hline
& 1 & & \\
\end{array}
\]
3. Multiplicamos el número que acabamos de bajar por el divisor \( x + 4 \) y escribimos el resultado en la fila inferior. Luego, sumamos en vertical.
\[
\begin{array}{r|rrr}
-4 & 1 & 1 & -12 \\
\hline
& 1 & 4 & \\
& \downarrow & \downarrow & \\
& 1 & 5 & \\
\end{array}
\]
4. Repetimos los pasos anteriores hasta completar la división:
\[
\begin{array}{r|rrr}
-4 & 1 & 1 & -12 \\
\hline
& 1 & 4 & \\
& \downarrow & \downarrow & \\
& 1 & 5 & -12 \\
& & 1 & \\
\hline
& 1 & 5 & -12 \\
& \downarrow & \downarrow & \\
& 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\]
Por lo tanto, la división de \( \frac{x^2 + x - 12}{x + 4} \) es \( x + 5 \), con un residuo de 0.
