La ecuación de la parábola solicitada expresada en la forma general está dada por:
[tex]\huge\boxed{ \bold { x^2-12x+24y -180 = 0}}[/tex]
Datos:
[tex]\bold{V (6,9)}[/tex]
[tex]\bold{F (6,3)}[/tex]
Hallamos la ecuación en la forma ordinaria o canónica de la parábola con vértice V (6,9) y foco F (6,3)
Dado que los valores de las coordenadas en x o de las abscisas son los mismos para el vértice y el foco
Empleamos la ecuación de la parábola en su forma canónica con vértice fuera del origen y eje de simetría paralelo al eje Y
Es decir para una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. O lo que es lo mismo una parábola vertical
La cual está dada por la siguiente ecuación:
[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}[/tex]
Hallamos la distancia focal |p|
Donde este parámetro nos señala la distancia entre el foco y el vértice
[tex]\bold { p = 3-9 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { p = -6 }}[/tex]
Dado que p < 0 la parábola abrirá hacia abajo
Luego:
Sabemos que el vértice de la parábola dada es:
[tex]\boxed {\bold { V (6,9) }}[/tex]
[tex]\bold {h = 6}[/tex]
[tex]\bold {k =9}[/tex]
Reemplazamos los valores conocidos en la forma:
[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}[/tex]
[tex]\bold { (x-(6) )^2= 4 \cdot(-6)\ (y- (9)) }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { (x-6 )^2= -24\ (y-9) }}[/tex]
Habiendo obtenido la ecuación canónica u ordinaria de la parábola solicitada
Hallamos la ecuación de la parábola en la forma general
La forma general de la ecuación de una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, también llamada parábola vertical está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold {A x^{2}+ Bx+ Cy+ D = 0 }}[/tex]
Donde la ecuación general de una parábola se obtiene a partir de su ecuación en la forma ordinaria o canónica, desarrollando el binomio al cuadrado y simplificando la expresión
[tex]\boxed{ \bold { (x-6 )^2= -24\ (y-9) }}[/tex]
[tex]\bold { x^2-12x +36=-24y+216 }[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\bold { x^2-12x +36+24y-216=0 }[/tex]
[tex]\bold { x^2 -12x+24y+36-216 = 0 }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { x^2-12x+24y -180 = 0}}[/tex]
Habiendo determinado la ecuación de la parábola solicitada expresada en la forma general
Se agrega gráfico como archivo adjunto
