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Para encontrar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{c}\), necesitamos calcular el producto mixto de estos vectores, que se puede expresar como el determinante de la matriz formada por estos vectores.
Los vectores dados son:
\[
\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{c} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}
\]
Primero, escribimos estos vectores en forma de componentes:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
Luego, formamos la matriz con estos vectores:
\[
M = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
Calculamos el determinante de esta matriz:
\[
\text{Volumen} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\]
Desarrollamos el determinante usando la primera fila:
\[
\text{Volumen} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}
\]
Calculamos los determinantes de las matrices \(2 \times 2\):
\[
\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (1 \cdot 1) = 0
\]
\[
\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (1 \cdot 0) = 1
\]
Sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
\text{Volumen} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1
\]
Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{c}\) es \(1\).