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Explicación paso a paso:
Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,3,-1), primero debemos obtener un vector director de la recta.
a) Si la recta pasa por el origen, entonces el vector director de la recta será el mismo que el punto por el que pasa la recta, por lo que en este caso el vector director de la recta es (4,3,-1).
La ecuación de la recta que pasa por el punto (4,3,-1) y que pasa por el origen se puede expresar como:
r(t) = t(4,3,-1)
b) Si la recta es perpendicular a los vectores u = i + j y v = j + k, entonces el vector director de la recta será perpendicular a ambos vectores. En este caso, podemos encontrar el vector director perpendicular a u y v calculando su producto cruz.
Calculando el producto cruz de u = i + j y v = j + k: u x v = |i j k| |1 1 0| |0 1 1| = i - j + j = i
Entonces, el vector director de la recta perpendicular a u y v es i.
La ecuación de la recta que pasa por el punto (4,3,-1) y que es perpendicular a los vectores u = i + j y v = j + k se puede expresar como:
r(t) = (4,3,-1) + t(i)
c) Para que la recta sea paralela a la recta l(t) = (3 + 2t, 4 - t, 1 + 3t), el vector director de la recta debe ser paralelo al vector director de la recta l(t). En este caso, el vector director de la recta l(t) es (2,-1,3).
La ecuación de la recta que pasa por el punto (4,3,-1) y que es paralela a la recta l(t) se puede expresar como:
r(t) = (4,3,-1) + t(2,-1,3)