Respuesta:
Pasos a seguir:
Definir la ecuación de la curva: La curva que define el límite del área de revolución está dada por la ecuación x
2
+y
2
=9.
Establecer los límites de integración: El intervalo de integración para el eje x va desde el punto mínimo de la curva hasta el punto máximo. En este caso, la curva no tiene puntos de corte con el eje x, por lo que el intervalo de integración es [0,3].
Calcular el radio de cada disco: El radio de cada disco depende del valor de x. Para obtenerlo, se debe aislar y en la ecuación de la curva:
y=
9−x
2
Calcular el área de cada disco: El área de cada disco se calcula utilizando la fórmula para el área de un círculo:
A
d
=πr
2
=π(
9−x
2
)
2
=9π−πx
2
Calcular el volumen de cada disco: El volumen de cada disco se calcula utilizando la fórmula para el volumen de un cilindro:
V
d
=A
d
⋅h=(9π−πx
2
)⋅dx
Sumar los volúmenes de los discos: El volumen total del sólido de revolución se obtiene sumando los volúmenes individuales de todos los discos infinitamente delgados a lo largo del intervalo de integración:
V=∫
a
b
V
d
dx=∫
0
3
(9π−πx
2
)dx
Evaluar la integral:
V=[9πx−
3
πx
3
]
0
3
V=(27π−9π)−(0)=18π
Resultado:
El volumen del sólido de revolución es de 18 unidades cúbicas de π.
