Para determinar cuántos números \( ab \) cumplen con la condición de que el máximo común divisor (MCD) de \( ab \) y 120 sea 40, primero debemos entender qué significa esto.
El MCD de dos números es el mayor número que divide a ambos sin dejar residuo. Dado que el MCD de \( ab \) y 120 es 40, sabemos que 40 es un divisor de 120 y que cualquier número \( ab \) que cumpla con esta condición debe tener 40 como factor.
El número 120 se descompone en factores primos como \( 2^3 \times 3 \times 5 \). Para que el MCD de \( ab \) y 120 sea 40, \( ab \) debe contener los factores primos de 40, que son \( 2^3 \times 5 \), pero no puede tener ningún factor primo adicional que esté en 120, porque de lo contrario, el MCD sería mayor que 40.
Por lo tanto, los números \( ab \) que cumplen con esta condición son aquellos que tienen exactamente los factores primos \( 2^3 \times 5 \) y pueden tener otros factores primos que no estén en 120. Sin embargo, dado que no se proporciona información adicional sobre \( ab \), no podemos determinar con certeza cuántos números cumplen con esta condición sin más contexto o restricciones.
En un escenario general, habría infinitos números que cumplen con esta condición, ya que podríamos multiplicar \( 2^3 \times 5 \) por cualquier otro número primo o producto de primos que no sean factores de 120 para obtener un nuevo número \( ab \) que cumpla con la condición del MCD. Por lo tanto, sin restricciones adicionales, no podemos limitar la cantidad de números \( ab \) a una cantidad finita específica.
Dado que las opciones proporcionadas son finitas y no tenemos más información, no podemos determinar una respuesta definitiva basada en la información proporcionada. Sin embargo, si se asume que \( ab \) es un número entero positivo menor que 120 y que comparte factores primos solo con 40, entonces podríamos listar esos números y contarlos, pero esa es una suposición que no se especifica en la pregunta.
