Respuesta :
Para encontrar las raíces de la función polinómica f(x)=x3+2x2−13x+10f(x)=x3+2x2−13x+10, podemos utilizar el teorema del factor y realizar divisiones sintéticas. Sin embargo, dado que la pregunta no especifica un método particular, comenzaré con la factorización por prueba y error para encontrar los valores de xx que hacen que el polinomio se iguale a cero.
Paso 1: Prueba de valores racionales
Usamos el teorema de los ceros racionales, que sugiere probar los factores de 1010 (el término constante) sobre los factores de 11 (el coeficiente principal):
Los posibles valores de xx son: ±1,±2,±5,±10±1,±2,±5,±10.
Paso 2: Prueba de cada valor
Probemos x=1x=1:
f(1)=13+2(1)2−13(1)+10=1+2−13+10=0f(1)=13+2(1)2−13(1)+10=1+2−13+10=0
Dado que f(1)=0f(1)=0, x=1x=1 es una raíz. Ahora podemos factorizar x−1x−1 del polinomio.
Paso 3: División sintética
Dividimos x3+2x2−13x+10x3+2x2−13x+10 por x−1x−1 usando división sintética:
112−131013−1013−100
111213−133−1010−100
El resultado de la división es x2+3x−10x2+3x−10.
Paso 4: Factorizar el polinomio cuadrático
Ahora factorizamos x2+3x−10x2+3x−10:
Buscamos dos números que multipliquen para dar −10−10 y sumen para dar 33. Estos números son 55 y −2−2:
x2+3x−10=(x+5)(x−2)
x2+3x−10=(x+5)(x−2)
Paso 5: Expresar la factorización completa
El polinomio original puede escribirse como:
x3+2x2−13x+10=(x−1)(x+5)(x−2)
x3+2x2−13x+10=(x−1)(x+5)(x−2)
Paso 6: Encontrar las raíces
Las raíces del polinomio son los valores de xx que hacen que cada factor se iguale a cero:
x−1=0 ⟹ x=1
x−1=0⟹x=1
x+5=0 ⟹ x=−5
x+5=0⟹x=−5
x−2=0 ⟹ x=2
x−2=0⟹x=2
Resumen
Las raíces del polinomio x3+2x2−13x+10x3+2x2−13x+10 son x=1x=1, x=−5x=−5 y x=2x=2.